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有意思的概率與統(tǒng)計(jì)（六）

2023-07-26 17:36 作者:不能吃的大魚 0人讀過(guò) | 我要投稿

在經(jīng)歷了艱苦的奮斗與掙扎過(guò)后，我終于把概率的基本內(nèi)容向各位小伙伴介紹完了！

可以說(shuō)，前幾篇專欄里介紹的東西可以說(shuō)是概率論當(dāng)中的基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，但同時(shí)也是學(xué)好概率論的重中之重了。只有充分理解好前面我所向大家介紹的內(nèi)容，之后有關(guān)概率論的學(xué)習(xí)大家才能夠足夠順利地進(jìn)行下去~

那么，今天開(kāi)始，我們學(xué)什么呢？

那當(dāng)然是正如我之前所說(shuō)的……隨機(jī)變量！

Chapter? Two? 隨機(jī)變量及其分布

2.1? 隨機(jī)變量及其分布

我們之前已經(jīng)簡(jiǎn)單地提及過(guò)了隨機(jī)變量的概念。（專欄（一）中就有講到過(guò)~），它是用于描述隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果的數(shù)字變量，以大寫字母表示。

但是對(duì)于隨機(jī)變量的具體定義，我們還沒(méi)有明確給出。事實(shí)上，所謂隨機(jī)變量，實(shí)際上就是定義在樣本空間上 $%5CvarOmega%20$ 的關(guān)于樣本點(diǎn) $%5Comega%20$ 的實(shí)值函數(shù) $X%3DX(%5Comega%20)$ ，其取值用小寫字母x，y，z等來(lái)表示。

因?yàn)闃颖究臻g會(huì)因樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)和性質(zhì)分為離散樣本空間和連續(xù)樣本空間，自然，隨機(jī)變量也可以因此分成離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。二者的主要區(qū)別就在于樣本空間是否是至多可數(shù)集。

與微積分中的基本變量有所差異，概率論中的隨機(jī)變量X是一種“隨機(jī)取值的變量，并且伴隨有一種分布”。我們不僅要知道X的可能取值，還要知道對(duì)應(yīng)該值的概率，這就構(gòu)成了一個(gè)概率分布。（概率分布的概念我們之前也有所提及，小伙伴們可以去回顧一下，加深理解~）

所以，為了能夠更好地使隨機(jī)變量發(fā)揮它在概率論中的作用，我們就有必要好好地研究——隨機(jī)變量的概率分布。

對(duì)于離散型隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，我們一般不難找出對(duì)應(yīng)某些事件的概率。（當(dāng)然，對(duì)于無(wú)限可數(shù)集而言，可能問(wèn)題要稍微復(fù)雜一些~）但是對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量而言，似乎單純?nèi)ふ夷骋粋€(gè)樣本點(diǎn)的概率不太容易實(shí)現(xiàn)。（很多時(shí)候都會(huì)變成0……這并不便于我們研究問(wèn)題。）

因此，我們就有必要通過(guò)另一種方式來(lái)表示隨機(jī)變量的分布關(guān)系。

由于隨機(jī)變量是實(shí)值函數(shù)，因此它的函數(shù)值的取值集合（即樣本空間）也一定是一個(gè)實(shí)數(shù)集。如果說(shuō)我們不去考慮單個(gè)樣本點(diǎn)的概率，而是去考慮某些具有特定規(guī)律（這個(gè)規(guī)律便于我們對(duì)新的分布關(guān)系給出定義）的事件。這樣，如果我們又可以通過(guò)一定的方式將單個(gè)點(diǎn)（或者單個(gè)點(diǎn)附近）的概率表示出來(lái)，那么這就是一個(gè)十分完美的分布表示法。

最簡(jiǎn)單地，考慮事件A={X≤x}。（這個(gè)事件確是待研究的樣本空間的子集。）對(duì)于一般的情況，該事件對(duì)應(yīng)的概率為P(A)=P(X≤x）。

又因?yàn)镻(c＜X≤a）=P(X≤a)-P(X≤c)，P(X＞b)=1-P(X≤b)，所以，對(duì)于任何以序關(guān)系表示的事件，只要知道對(duì)應(yīng)的概率P(X≤x），就可以完美求解其概率。

同時(shí)，對(duì)于離散型隨機(jī)變量而言，我們又可以令P(X=x)=P(X≤x)-P(X≤x-1)，這樣，我們也能夠通過(guò)我們所規(guī)定的事件的概率來(lái)給出單個(gè)樣本點(diǎn)的概率。而對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量而言，這樣的事件又不會(huì)使得概率分布中概率全部是0值或者是不可得到的值。

顯然，這樣的事件用于定義新的分布關(guān)系是十分合理的。

此時(shí)，我們不難發(fā)現(xiàn)，P(X≤x)從一個(gè)對(duì)應(yīng)于事件的函數(shù)，變?yōu)榱藢?duì)應(yīng)于數(shù)值變量x的函數(shù)。這個(gè)時(shí)候，它確實(shí)是一個(gè)真實(shí)的函數(shù)了（函數(shù)原本最狹義的定義就是數(shù)集到數(shù)集的映射。），我們將其記為：

$F(x)%3DP(X%5Cle%20x)$

稱之為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。且稱X服從于F(x)，記為X~F(x)。

其中，x為任意實(shí)數(shù)。以后，在提到分布函數(shù)時(shí)，默認(rèn)樣本空間為全體實(shí)數(shù)，哪怕真實(shí)事件的樣本空間并不是這樣。（這樣做可以統(tǒng)一分布函數(shù)的定義域，從而減少分析分布函數(shù)的麻煩；同時(shí)，因?yàn)槲覀兛梢詫?duì)不屬于真實(shí)事件的部分概率規(guī)定為0，這樣就也保證了我們這種規(guī)定的合理性。）

值得注意的是，很明顯，任意隨機(jī)變量都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)，而不管它是連續(xù)的還是離散的。

有了分布函數(shù)的定義，我們就要研究它的基本性質(zhì)。（這已經(jīng)成為固定的套路了~）

首先，考慮到：

$P(x_1%20%EF%BC%9CX%5Cle%20x_2)%3DF(x_2)-F(x_1)%5Cge%200%5Cquad%20(x_1%EF%BC%9Cx_2)$

這直接說(shuō)明，分布函數(shù)一定是單調(diào)不減的。

此外，由于分布函數(shù)本質(zhì)上是事件的概率，因此，由非負(fù)性公理和正則性公理，我們知道，分布函數(shù)一定是有界的，且滿足：

$0%5Cle%20F(x)%5Cle%201$

同時(shí)，由于樣本空間是實(shí)數(shù)集，因此當(dāng)x→+∞時(shí)，事件{X≤x}逐漸覆蓋整個(gè)樣本空間，因此應(yīng)該有：

$%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20F(x)%3D1%20$

類似地，我們可以想到：

$%5Clim_%7Bx%5Cto-%E2%88%9E%7D%20F(x)%3D0%20$

當(dāng)然，這只是我們的猜想，至于正確與否，還有待證明。只不過(guò)，這部分的證明我就不在這里列出了，交給小伙伴們吧~

最后，補(bǔ)充一條對(duì)于分布函數(shù)而言十分重要的性質(zhì)——右連續(xù)性。即：

$%5Clim_%7Bx%5Cto%20x_0%5E%2B%7D%20F(x)%3DF(x_0)%20$

這個(gè)性質(zhì)也交給大家來(lái)嘗試~

至此，我們也就給出了對(duì)于分布函數(shù)而言最為重要的三條性質(zhì)。

我們最后指出一點(diǎn)，那就是，滿足這三條基本性質(zhì)的函數(shù)一定是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)。

我們先來(lái)就簡(jiǎn)單的分布類型來(lái)研究其分布函數(shù)。

最容易為大家所了解和接受的，就是離散型隨機(jī)變量。我們之前在介紹確定概率的基本方法時(shí)，曾經(jīng)在例子當(dāng)中給出過(guò)離散型隨機(jī)變量的概率分布的例子。事實(shí)上，我們可以從中抽離出對(duì)于離散型隨機(jī)變量而言最為重要的幾個(gè)點(diǎn)，從而得到一般的離散型隨機(jī)變量的分布的概念：

設(shè)X為一離散型隨機(jī)變量，其所有可能的取值為：

$x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_n%2C%5Ccdots$

則稱X取 $x_i$ 的概率：

$p_i%3Dp(x_i)%3DP(X%3Dx_i)%5Cquad%20(i%3D1%2C2%2C%5Ccdots%20%2Cn%2C%5Ccdots%20)$

為X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為分布列，記為 $X%5Csim%20%5C%7Bp_i%5C%7D$ 。

分布列一般都用列表的方式給出，形式大體如我們前面所舉過(guò)的例子那樣。（這一點(diǎn)大家在中學(xué)階段想必都已經(jīng)接觸過(guò)了，就不再細(xì)說(shuō)~）

對(duì)于分布列而言，很容易想到它應(yīng)該具有的性質(zhì)：

（1）非負(fù)性： $p(x_i)%5Cge%200%5Cquad%20(i%3D1%2C2%2C%5Ccdots%20%2Cn%2C%5Ccdots%20)$

（2）正則性： $%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20p(x_i)%3D1$

而離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)顯然也就應(yīng)該是：

$F(x)%3D%5Csum_%7Bx_i%5Cle%20x%7D%20p(x_i)$

不過(guò)，對(duì)于離散型隨機(jī)變量而言，使用分布列來(lái)描述函數(shù)顯然要比分布函數(shù)來(lái)的簡(jiǎn)單便捷。所以，一般而言，我們描述離散型隨機(jī)變量的分布，都使用分布列來(lái)進(jìn)行。

對(duì)于離散型隨機(jī)變量，我們可以使用分布列來(lái)描述分布情況。但是，我們也提到過(guò)，這樣的方式對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量并不適合，因?yàn)閱蝹€(gè)樣本點(diǎn)處的概率多數(shù)情況下都要取零值。

如果這個(gè)時(shí)候，我們還是需要對(duì)某個(gè)樣本點(diǎn)的概率取值，就不得不使用其它方式來(lái)進(jìn)行估計(jì)和代替了。這個(gè)時(shí)候我們可以想到，因?yàn)楦怕?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=P(X%5Cle%20x)" alt="P(X%5Cle%20x)">實(shí)際上是無(wú)窮多個(gè)事件：

$%5C%7BX%3Dy%7Cy%5Cle%20x%5C%7D$

的累積，于是，我們可以用微積分的思想和方式來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題：

設(shè) $F(x)$ 是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，如果存在定義在實(shí)數(shù)集上的非負(fù)可積函數(shù) $p(x)$ ，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有：

$F(x)%3D%5Cint_%7B-%E2%88%9E%7D%5E%7Bx%7D%20p(t)%5Ctext%20dt$

則稱函數(shù) $p(x)$ 為連續(xù)型隨機(jī)變量的X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為密度函數(shù)。

概率密度這一稱呼十分符合它的定義。類比物理學(xué)當(dāng)中的密度以及由密度求質(zhì)量的方法，不難理解這里“密度”的含義。同時(shí)，此時(shí)的分布函數(shù)可以稱之為概率累計(jì)函數(shù)。這樣的描述生動(dòng)形象地展示出了二者之間的關(guān)系。

概率密度函數(shù)在連續(xù)型隨機(jī)變量的研究當(dāng)中發(fā)揮的作用相當(dāng)于是離散型隨機(jī)變量的分布列一樣，因此它也顯然具有非負(fù)性和正則性兩個(gè)性質(zhì)。這是十分顯然的道理~

最后，我們也指出，滿足非負(fù)性和正則性的函數(shù)，一定可以寫作某個(gè)隨機(jī)變量的分布列或者概率密度函數(shù)。

思考：

回答下列問(wèn)題：

（1）試證明分布函數(shù)的兩個(gè)極限；

（2）試證明分布函數(shù)具有右連續(xù)性；

（3）考慮一下，我們可以怎樣根據(jù)分布函數(shù)的三條基本性質(zhì)構(gòu)造一個(gè)可能的隨機(jī)變量？對(duì)于滿足非負(fù)性和正則性的概率密度函數(shù)又如何構(gòu)造隨機(jī)變量呢？

（4）對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，它的分布函數(shù)除了已知的三條基本性質(zhì)之外，還具有哪些基本性質(zhì)？
試求以下離散型隨機(jī)變量的分布列：

（1）口袋中有5個(gè)球，分別編號(hào)1~5。從中任取3個(gè)，X為三個(gè)球中的最大號(hào)碼；

（2）一顆骰子拋擲兩次，X為兩次所得的最小點(diǎn)數(shù)；

（3）口袋里有7個(gè)白球和3個(gè)黑球。每次從中任取一個(gè)，若為黑球，則不放回，并另外放入一個(gè)白球。X為首次取出白球時(shí)的一共的取球次數(shù)；

（4）一副撲克牌中有54張牌（包含大小王）。從中任取5張，X為黑桃張數(shù)；
設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0Ap(x)%3D%5Cbegin%20%7Bcases%7D%0Ax%2C%260%5Cle%20x%5Cle%201%5C%5C%0A2-x%2C%261%5Cle%20x%5Cle%202%5C%5C%0A0%2C%26%E5%85%B6%E4%BB%96%0A%5Cend%20%7Bcases%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

求 $P(X%5Cle%201.5)$ ；
設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0Ap(x)%3D%5Cbegin%20%7Bcases%7D%0AA%5Ccos%20x%2C%26%7Cx%7C%5Cle%20%5Cfrac%20%7B%5Cpi%7D%20%7B2%7D%20%5C%5C%0A0%2C%26%7Cx%7C%EF%BC%9E%5Cfrac%20%7B%5Cpi%7D%20%7B2%7D%20%0A%5Cend%20%7Bcases%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

試求：

（1）系數(shù)A的值；

（2）X落在區(qū)間(0,π/4)內(nèi)的概率；
設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0Ap(x)%3D%5Cbegin%20%7Bcases%7D%0A%0A0%2C%26x%EF%BC%9C0%5C%5C%0AAx%5E2%2C%260%5Cle%20x%EF%BC%9C%201%5C%5C%0A1%2C%26x%5Cge%201%0A%5Cend%20%7Bcases%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

試求：

（1）系數(shù)A的值；

（2）X落在區(qū)間(0.3,0.7)內(nèi)的概率；

（3）X的概率密度函數(shù)；
設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù) $p(x)$ 為一個(gè)偶函數(shù)， $F(x)$ 為X的分布函數(shù)，試證明對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，都有：

（1）

$F(-a)%3D1-F(a)%3D0.5-%5Cint_%7B0%7D%5E%7Ba%7Dp(x)%5Ctext%20dx%20$ ；

（2）

$P(%7CX%7C%EF%BC%9Ca)%3D2F(a)-1$ ；

（3）

$P(%7CX%7C%EF%BC%9Ea)%3D2%5B1-F(a)%5D$