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一、緊致性收尾

1.定理2.39：緊致的度量空間是完備的。

一個(gè)定理把緊致性、列緊性、完備性，以及把緊集套聯(lián)系在了一起，相當(dāng)于把七大定理中去除三個(gè)涉及序關(guān)系的定理，剩下的四大定理全部囊括進(jìn)來(lái)。

證明：從X中任取一個(gè)Cauchy列。一方面，按類(lèi)似上極限第三定義的思路依次取集合，就構(gòu)成了集套，每個(gè)集合取閉包，則構(gòu)成閉集套，由于在緊致空間中，因此構(gòu)成緊集套，由緊集套定理知無(wú)窮交等于單點(diǎn)集。另一方面，Cauchy列推得diamEn→0，由命題2.20（diamE=diamē）知diamē→0。于是可知，d(xn,ξ)→0，即xn→ξ，這表明X完備。

2.完善上一講，連續(xù)映射在IR?或度量空間的推廣。

3.緊致性的思維導(dǎo)圖。包含緊致性定義、性質(zhì)，度量空間（IR?）上三角關(guān)系，緊集套定理，緊集上的連續(xù)映射。

二、開(kāi)啟連通性

1.我覺(jué)得人們?nèi)粘Ｊ前选斑B續(xù)性”和“連通性”相混淆的。連續(xù)性是針對(duì)映射說(shuō)的（可能是局部，可能是整體），連通性是針對(duì)集合說(shuō)的，“連成一片”。

2.連通集定義。

①定義一：拓?fù)淇臻gX。若對(duì)X的任意劃分，兩集合都是開(kāi)集，則X不是連通的。

（?。┻B通性可以只用開(kāi)集定義，因此是拓?fù)洳蛔兞俊?/p>

（ⅱ）證連通性常用反證法。

②定義二：拓?fù)淇臻gX連通?X的既開(kāi)又閉的子集只有X和?。

③定義三：拓?fù)淇臻gX連通?X的任意劃分｛U，V｝滿(mǎn)足U∩V的閉包≠? 或 U的閉包∩V≠??

3.連通性定義的例題。

平凡拓?fù)淇臻g是連通的，有理數(shù)集不是連通的。

（這兩點(diǎn)是用定義一證）