有界vs無界：分區(qū)間分析（2019課標(biāo)Ⅰ導(dǎo)數(shù)）

2022-10-18 12:31 作者:數(shù)學(xué)老頑童 0人讀過 | 我要投稿

（2019課標(biāo)Ⅰ，20）已知函數(shù) $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D%5Csin%20%20x-%5Cln%20%5Cleft(%201%2Bx%20%5Cright)%20$ ， $f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 為 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 的導(dǎo)數(shù).證明：

（1） $f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 在區(qū)間 $%5Cleft(%20-1%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20$ 存在唯一極大值點(diǎn)；

（2） $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 有且僅有 $2$ 個零點(diǎn).

解：（1） $f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D%5Ccos%20%20x-%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bx%7D$ ，

令 $g%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3Df'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ ，

$g'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D-%5Csin%20%20x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cleft(%201%2Bx%20%5Cright)%20%5E2%7D$ ，

易知 $g'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csearrow%20%7D$ ，

且 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bg'%5Cleft(%200%20%5Cright)%7D%20%3D1%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3E0%7D$ ，

$%5Ccolor%7Bred%7D%7Bg'%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%7D%20%3D-1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cleft(%201%2B%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%5E2%7D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3C0%7D$ ，

故存在唯一 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bx_0%7D%5Cin%20%5Cleft(%200%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20$ ，

使得 $g'%5Cleft(%20x_0%20%5Cright)%20%3D0$ .

當(dāng) $x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%20-1%2Cx_0%20%5Cright)%20%7D$ ， $g'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3E0$ ， $g%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cnearrow%20%7D$ ；

當(dāng) $x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%20x_0%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%7D$ ， $g'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3C0$ ， $g%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csearrow%20%7D$ .

故 $g%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 在 $%5Cleft(%20-1%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20$ 存在唯一極大值點(diǎn) $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bx_0%7D$ .

（2）注意到 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bf'%5Cleft(%200%20%5Cright)%20%3D0%7D$ ，

所以 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bf'%5Cleft(%20x_0%20%5Cright)%20%3E%7Df'%5Cleft(%200%20%5Cright)%20%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B0%7D$ ，

又因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Ccolor%7Bred%7D%7Bf'%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%7D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3C0%7D" alt="%5Ccolor%7Bred%7D%7Bf'%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%7D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3C0%7D">，

故 $%5Cexists%20%5Ccolor%7Bred%7D%7Bx_1%7D%5Cin%20%5Cleft(%20x_0%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20$ ，使得 $f'%5Cleft(%20x_1%20%5Cright)%20%3D0$ .

當(dāng) $x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%20-1%2C0%20%5Cright)%20%7D$ ， $f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3C0$ ， $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csearrow%20%7D$ ；

當(dāng) $x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%200%2Cx_1%20%5Cright)%20%7D$ ， $f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3E0$ ， $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%5Ccolor%7Bred%7D%7B%20%5Cnearrow%20%7D$ ；

當(dāng) $x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%20x_1%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%7D$ ， $f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3C0$ ， $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csearrow%20%7D$

注意到 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bf%5Cleft(%200%20%5Cright)%20%3D0%7D$ ，

所以 $%5Cforall%20x%5Cin%20%5Cleft(%20-1%2C0%20%5Cright)%20%5Ccup%20%5Cleft(%200%2Cx_1%20%5Cright)%20$ ，

$f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3Ef%5Cleft(%200%5Cright)%3D0$ ；

又因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Ccolor%7Bred%7D%7Bf%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%7D%20%3D1-%5Cln%20%5Cleft(%201%2B%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3E0%7D" alt="%5Ccolor%7Bred%7D%7Bf%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%7D%20%3D1-%5Cln%20%5Cleft(%201%2B%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3E0%7D">，

所以 $%5Cforall%20x%5Cin%20%5Cleft(%20x_1%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20$ ，

$f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3Ef%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%3E0$ ，

所以 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 在 $%5Cleft(%20-1%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20$ 僅有唯一零點(diǎn) $%5Ccolor%7Bred%7D%7B0%7D$ .

（找到1個）

當(dāng) $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bx%5Cin%20%5Cleft(%20%5Cmathrm%7Be%7D-1%2C%2B%5Cinfty%20%5Cright)%20%7D$ ，

$%5Ccolor%7Bred%7D%7Bf%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%7D%3C1-%5Cln%20%20%5Cleft(%201%2Bx%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3C0%7D$ ，無零點(diǎn).

當(dāng) $x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft%5B%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%2C%5Cmathrm%7Be%7D-1%20%5Cright%5D%7D$ ，易知 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csearrow%20%7D$ ，

$%5Ccolor%7Bred%7D%7Bf%5Cleft(%20%5Cmathrm%7Be%7D-1%20%5Cright)%20%7D%3D%5Csin%20%5Cleft(%20%5Cmathrm%7Be%7D-1%20%5Cright)%20-1%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3C0%7D$ ，