這要從我那天水群的時候，有個群友發(fā)的一道數(shù)學(xué)題說起。

如下圖，圓的內(nèi)部有4個邊長為2的正方形。其中，A點(diǎn)是正方形的頂點(diǎn)，也是圓周上的1點(diǎn)；BC是正方形的一條邊，同時B點(diǎn)和C點(diǎn)都是圓周上的1點(diǎn).。求圓的半徑。

這題本身沒什么，只是它的解法會用到一個相當(dāng)實(shí)用的方法——三點(diǎn)法測圓的直徑。

通常我們測量圓的直徑的時候，比如小的圓孔就用卡尺大概卡一下，大的圓筒、圓管的話就用卷尺大概量一下。八九不離十。但是這本質(zhì)上都是在估測，算不上測量。如果只能用尺的話，三點(diǎn)法就是比較好的方法。

首先，在圓周上任意取3個點(diǎn)。用這3個點(diǎn)就能連成這個圓的內(nèi)接三角形。

然后，測量三角形的三邊邊長（對圓來說就是弦長）。

到這里，測量就完成了。下面都是計算。

第一步。用余弦定理，計算任意一個內(nèi)角的余弦值（對圓來說就是一根弦對應(yīng)的圓周角的余弦值）。

第二步。用三角函數(shù)加法定理，計算這根弦對應(yīng)的圓心角的余弦值。

第三步。在這根弦與圓心組成的等腰三角形里，用余弦定理計算出腰長，即圓的半徑。

下面用數(shù)學(xué)語言說一遍。

點(diǎn)A、B、C是圓周上的3個點(diǎn)。ΔABC是圓的內(nèi)接三角形。

做一個Excel表格函數(shù)很快就能算出來了。也可以用VBA構(gòu)造一個函數(shù)直接調(diào)用。

我提供一個函數(shù)的VBA代碼。

Function tri2r(a As Double, b As Double, c As Double) As Double

?Dim cos1 As Double

?Dim cos2 As Double

?

?cos1 = (b ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2) / 2 / b / c

?cos2 = 2 * cos1 ^ 2 - 1

?tri2r = (a ^ 2 / 2 / (1 - cos2)) ^ 0.5

?

End Function

?

當(dāng)然，當(dāng)內(nèi)接三角形是鈍角三角形的時候，有可能選到的圓周角是鈍角，這個時候圓心角就不是三角形的內(nèi)角，是大弧對應(yīng)的那個比π大的圓心角了。但是沒必要做區(qū)分。因為余弦函數(shù)是軸對稱的，所以這兩個角的余弦值相等。

?

這個方法，除了比較精確以外，還有兩個顯著的好處。

好處一，以小測大。即使手頭上的量具的量程遠(yuǎn)不及需要測的直徑，也不妨礙測量。比如想測的圓管的管徑至少在1米以上，而手頭上只有15厘米的鋼尺時，也可以測得一個小的鈍角內(nèi)接三角形的三邊，然后計算。

好處二，可以測小的圓弧。當(dāng)遇到弧度比半圓小的圓弧的時候，圓周上就找不到直徑了，不可能直接測量。但是用三點(diǎn)法就可以測量。其實(shí)和以小測大同理。

好吧，回到最開始的題目上。

我的初中數(shù)學(xué)老師——胡柳盛老師，總是在講完題后問一句：還有其他解法嗎？我的高中物理老師——鄭江良老師，總是要求我們在最后計算答案時才把具體數(shù)值代入進(jìn)去。受他們的影響，比起巧妙的解法，我更喜歡通用的解法。

比如這題里面，我定義正方形的邊長為a 進(jìn)行計算。

首先，題面里已經(jīng)給了3個圓周上的點(diǎn)了，所以自然地畫出內(nèi)接三角形ABC 。

三邊里，BC就是正方形的邊長。再看其他幾個正方形的關(guān)系，其實(shí)AB和AC也是直角三角形的斜邊。所以：

然后代入上面說的三點(diǎn)法計算就好了。

當(dāng)然更一般的狀況就是正方形的數(shù)量也不固定。當(dāng)然為了維持類似的形狀，需要一些限制。

定義左側(cè)的正方形數(shù)量為m，右側(cè)的正方形數(shù)量為n 。因為最上方的正方形被重復(fù)計數(shù)一次，所以正方形總數(shù)是m+n-1個。然后為了保持左多右少的形狀，還需要規(guī)定m≥3，n≥2，且m＞n。m和n都是自然數(shù)。正方形的邊長是a。要做的事其實(shí)一樣。

為了計算方便，令：

m+n-1=α

m-n=β

m-n+1=γ