前排提醒：在正式開始之前，這里先說清楚，對(duì)于氪金玩家的讀者們而言，這篇專欄不會(huì)告訴你們?nèi)绾卫硇噪唇?，也無法給到任何實(shí)際性的建議，甚至可能會(huì)出現(xiàn)一定的副作用。

前言

很多人，包括很多大佬，在開始氪金抽卡之前，總是會(huì)先規(guī)劃自己抽卡氪金的總金額（也就是“零花錢”），再分析某個(gè)游戲卡池的各種要素（角色強(qiáng)度、出貨概率等）來判斷是否值得氪金抽卡。事實(shí)上，幾乎所有人在氪金抽卡之前都會(huì)經(jīng)過這兩個(gè)步驟。這兩個(gè)步驟不一定誰在前誰在后，也不一定是一前一后，也可能是同時(shí)開始考慮的。尤其是關(guān)于對(duì)卡池的概率分析，有些大佬的分析已經(jīng)開始精確到計(jì)算出了任何可行氪金數(shù)額下的概率分布，甚至開始用電腦來精確模擬抽卡。

但這種提前的決策規(guī)劃有用嗎？不一定。對(duì)于克制力較強(qiáng)的人，也就是對(duì)提前規(guī)劃執(zhí)行力強(qiáng)的人，這種規(guī)劃或許有用；但對(duì)于克制力較弱的人，這種規(guī)劃很容易淪為一紙空談。

而一般在我們的印象中除了克制力強(qiáng)的，就是抽“上頭”的，似乎沒有一個(gè)中間的狀態(tài)。尤其是對(duì)于抽上頭而懊悔的玩家來說，似乎只要自己當(dāng)時(shí)足夠理智、冷靜，如今就不會(huì)這般懊悔。但正如上面提到的，“克制力強(qiáng)”實(shí)際上是一個(gè)比較高的要求，拿這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)去要求所有人恐怕是不太合適的。

于是，我們?cè)谶@里，將借用經(jīng)濟(jì)學(xué)中“理性人”的相關(guān)假設(shè)，來構(gòu)造一個(gè)“理智、冷靜”的人。這個(gè)人的自制力不要求多高，但無論抽多少次卡，其偏好都不會(huì)發(fā)生改變（即不會(huì)上頭）?，F(xiàn)在，來看一下，這樣的一個(gè)人的氪金抽卡結(jié)果會(huì)是怎樣的。

為了簡(jiǎn)單起見，以下抽卡的目標(biāo)僅為抽到一張稀有卡就好，稀有卡不存在細(xì)分種類（比如R\SR\SSR\UR等）。

關(guān)鍵概念介紹

這里只要是介紹“一次性無限制連抽”機(jī)制與“無限制‘單抽+十連’”機(jī)制這兩種氪金抽卡的區(qū)別。

• 一次性無限制連抽：一次可同時(shí)多連抽，連抽數(shù)不限制，但只能抽一次。

這也是一般人在抽卡前進(jìn)行分析時(shí)，所默認(rèn)、假想出來的抽卡機(jī)制。換句話說，只有在這種機(jī)制下，抽卡前的各種分析才真正有用武之地。

• 無限制“單抽+十連”：一次可單抽可同時(shí)十連抽（也可其他形式的多連），抽卡次數(shù)不加任何限制，也就是所謂的“無限制”。

這里要好好解釋一下下面這種機(jī)制的情況與上面那種機(jī)制情況的不同。

此時(shí)的問題在于，抽卡過程不再是一次性決策，而是連續(xù)多次決策。

這個(gè)問題只有在購(gòu)買這種帶有不確定性的商品時(shí)才會(huì)顯現(xiàn)出來。如果“抽中”為必然事件，抽卡概率為，玩家購(gòu)買一次就一定有一件商品，購(gòu)買五次就一定有五件商品，不管是一次性買還是連續(xù)多次買，最后一次抽卡時(shí)獲得的邊際效用，都是商品數(shù)為五時(shí)的邊際效用。但種帶有不確定性的商品不同。假設(shè)抽中一張某種稀有卡的期望抽卡次數(shù)為五，抽一次一百。在一起抽的情況下，最后一次（也是第一次）抽卡時(shí)獲得的邊際效用，是商品數(shù)為五時(shí)的邊際效用；而在連續(xù)多次抽，且前四次都沒抽到的情況下，那最后一次抽卡時(shí)獲得的邊際效用，是商品數(shù)為一時(shí)的邊際效用。而且在連續(xù)多次抽時(shí)，最后一次抽卡時(shí)獲得的邊際效用也是隨機(jī)的。

換句話說，在這種情況下，玩家頂多只能在事前預(yù)先對(duì)第一次抽卡進(jìn)行規(guī)劃，第一次之后的抽卡情況是完全隨機(jī)的，是完全不受玩家控制的。比如第二次抽卡，完全取決于第一次抽卡這一隨機(jī)結(jié)果。

換句話說，在不考慮玩家自制力的情況下，玩家的氪金抽卡連抽次數(shù)，是一個(gè)不受玩家自身控制的隨機(jī)結(jié)果。

如果讀者有接觸過一點(diǎn)博弈論，此時(shí)可能會(huì)覺得這沒什么大不了的，頂多不過是個(gè)混合策略的問題。

但情況不止于此。

如果讀者有微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)基礎(chǔ)的話，應(yīng)該聽說過一個(gè)詞叫做“沉沒成本”，及其背后的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義。通俗地來解釋的話，就是現(xiàn)在的決策，不應(yīng)該受到過去決策時(shí)發(fā)生的成本，即“沉沒成本”的影響。換句話說，即使玩家在之前的抽卡中花掉了相當(dāng)大的一筆錢（超過了玩家的預(yù)期），下一次要不要抽卡，也只應(yīng)該看玩家此時(shí)的余額情況夠不夠你再抽一次，以及玩家愿不愿意再抽一次。

舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子。假設(shè)玩家有十萬元，抽卡已經(jīng)抽了六萬（玩家原本預(yù)期只抽個(gè)三萬），抽一個(gè)十連一百元。如果玩家考慮到了之后的日常生活消費(fèi)，仍覺得自己愿意再抽一次，那這一次的抽卡行為可以看作是“理智、冷靜”的。

也就是說，玩家的自制本身，是一種并不“理智、冷靜”的表現(xiàn)。

下面開始正式分析。

（由于B站專欄不能使用公式編輯器的內(nèi)容，理論構(gòu)建及分析部分以及后面出現(xiàn)的公式及字母都是重新打的，如有錯(cuò)漏還望見諒）

理論構(gòu)建及分析（非經(jīng)濟(jì)學(xué)專業(yè)可選擇性跳過）

為方便起見，未特別說明時(shí)，一般默認(rèn)假設(shè)抽卡連抽次數(shù)在理論上可以取到不小于1的任何正實(shí)數(shù)。如果最終結(jié)果不是整數(shù)，則從離它最近的兩個(gè)整數(shù)中挑選最優(yōu)解即可（下面提到的偏好凸性假設(shè)會(huì)保證這種做法的合理性）。

以下相關(guān)術(shù)語及部分未直接證明的命題，如未作特別說明，其相關(guān)的說明及證明均來自MWG。如對(duì)其有所疑問，請(qǐng)自行翻閱MWG。

偏好假設(shè)

1. 偏好理性。即偏好同時(shí)滿足完備性、傳遞性。這樣的話偏好可以使用效用函數(shù)來表示，同時(shí)其生成的選擇結(jié)構(gòu)滿足顯示偏好弱公理（雖然后面這條在這里不一定用得上）。

2. 偏好連續(xù)。這樣的話效用函數(shù)也是連續(xù)的，同時(shí)這意味著“抽卡連抽次數(shù)可以取到正實(shí)數(shù)”這個(gè)假設(shè)是必要乃至不可或缺的。

3. 偏好單調(diào)。也就是說，對(duì)于任何商品，多多益善，不會(huì)覺得哪種商品多拿無用。

4. 偏好凸性。這意味著效用函數(shù)是擬凹函數(shù)（就算換成了這個(gè)說法似乎也沒什么大用），以及商品的邊際替代率遞減。

預(yù)算假設(shè)

• p0x+p1n=m

其中m為總金額（就是你身上所有的錢）；p1為一次單抽（或十連，差別不大）的價(jià)格；x代表你氪金抽卡以外消費(fèi)的所有商品（參見范里安《微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)：現(xiàn)代觀點(diǎn)》中的“復(fù)合商品”概念），它的減少意味著，你除去氪金抽卡活動(dòng)外整體生活水平的下降；p0就是這個(gè)復(fù)合商品對(duì)應(yīng)的“復(fù)合價(jià)格”，可以看作氪金抽卡以外所有商品的整體物價(jià)水平。

效用函數(shù)

• u=u(x,n;p)

其中p是抽卡的概率分布，可以看作是可能取決于的一系列常數(shù)或某種參數(shù)，畢竟這是游戲制作方才能決定的。

商品假設(shè)

• 任何商品都是正常品。

結(jié)合之前的假設(shè)以及斯勒茨基分解，很容易得到：哪種商品都不是吉芬品（參見范里安《微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)：現(xiàn)代觀點(diǎn)》中的“需求法則”）。

(這條假設(shè)看似沒什么用，但實(shí)際上它是試圖用來確定某個(gè)解的存在性與唯一性的)

決策過程

于是，氪金抽卡的決策問題就轉(zhuǎn)換成如下所示：

• max u=u(x,n)

• s.t.?p0x+p1n=m

接下來我們來看，在不同的抽卡機(jī)制下，達(dá)到最優(yōu)解的情況。

一次性無限制連抽

此時(shí)的問題只是一個(gè)尋常的多元函數(shù)條件極值問題，易得：

• （邊際替代率絕對(duì)值等于價(jià)格比，自己寫公式）

• p0x+p1n=m

通過解這個(gè)二元方程組，即可得到此時(shí)的最優(yōu)氪金抽卡連抽次數(shù)解。根據(jù)現(xiàn)實(shí)情況，一旦準(zhǔn)備抽卡，一般認(rèn)為n不小于1。

無限制“單抽+十連”

通過給出的抽卡概率分布p，即可得到此時(shí)的最優(yōu)氪金抽卡連抽次數(shù)解n這個(gè)隨機(jī)變量的概率分布。

現(xiàn)在我們來看的上下限。

下限很明顯。根據(jù)現(xiàn)實(shí)情況，一旦準(zhǔn)備抽卡，一般認(rèn)為n不小于1。

關(guān)鍵是上限。

假設(shè)玩家沒有一次會(huì)抽中（后面有幾個(gè)結(jié)論都是以此為前提的）。

此時(shí)，停手的臨界條件為：

• （n為1時(shí)的邊際替代率絕對(duì)值等于價(jià)格比，自己寫公式）

• p0x+p1n=m

此時(shí)假設(shè)玩家在臨界條件下會(huì)把最后這一發(fā)也抽掉。

通過解這個(gè)二元方程組，即可得到此時(shí)的氪金抽卡連抽次數(shù)的上限，以及此時(shí)的消費(fèi)量x。

值得注意的是，x僅由方程組中的第一個(gè)方程單獨(dú)決定。也就是說，當(dāng)收入達(dá)到一定水平時(shí)，隨著收入的增加，x不會(huì)隨之增加，甚至可能不會(huì)發(fā)生任何大的變化。記此時(shí)消費(fèi)水平的最小值為x0，它可以視為某種“生活水平底線”。顯然x0至少不低于價(jià)格比，也就是說，當(dāng)剩下的錢連再多抽一發(fā)都不夠時(shí)，剩下的這些錢一定會(huì)全部用來消費(fèi)。

舉例說明理論分析結(jié)論

上面的說法可能比較抽象，現(xiàn)在這里舉一個(gè)更具體的例子來加以說明，但請(qǐng)至少把上面部分中“決策過程”之前的內(nèi)容都過一遍。

假設(shè)玩家的預(yù)算是50x+100n=10000，n是單抽次數(shù)，x代表玩家生活中其他商品的消費(fèi)水平。也就是說，玩家總共一萬元，單抽價(jià)格為一百元，其他商品的物價(jià)整體水平為五十元。顯然，n最大為100。

假設(shè)玩家的效用函數(shù)為u=4ln(x)+ln(np+1)，其中為p單抽抽中的概率。這個(gè)效用函數(shù)，除了上面理論分析時(shí)要求的幾點(diǎn)性質(zhì)外（包括完全的“理智、冷靜”），還有些更符合氪金抽卡這一情況的性質(zhì)。比如：不能把錢全拿來氪金（其他商品的消費(fèi)水平不能為零）、不氪金也無所謂（氪金抽卡次數(shù)可以取到零）。

假設(shè)單抽抽中的概率為十分之一。

現(xiàn)在的問題是，要在預(yù)算的條件約束下，讓自身效用能夠盡可能達(dá)到最大值。

如果此時(shí)采用的是“一次性無限制連抽”，根據(jù)高數(shù)中多元函數(shù)條件極值問題的解法，可以很快得到：n=12。也就是說，此時(shí)玩家會(huì)一次性連抽十二次。這時(shí)的機(jī)制還體現(xiàn)出了玩家這一效用函數(shù)的另一個(gè)比較符合現(xiàn)實(shí)規(guī)劃的性質(zhì)，氪金預(yù)算總額在總預(yù)算中占比相對(duì)穩(wěn)定（無論總預(yù)算多少，氪金預(yù)算永遠(yuǎn)占比約五分之一還少一點(diǎn)）。此時(shí)，除抽卡氪金以外的一般生活消費(fèi)在總消費(fèi)預(yù)算中占比為88%。

如果此時(shí)采用的是“無限制‘單抽+十連’”，首先，玩家的抽卡次數(shù)將會(huì)是一個(gè)隨機(jī)變量。完全準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)出固定的數(shù)值。這也正是這個(gè)機(jī)制的第一個(gè)可怕之處：玩家的抽卡行為完全不受玩家自身控制。

現(xiàn)在我們來看，如果玩家的運(yùn)氣非常差（但本人不知道），那玩家最終會(huì)抽多少次才肯罷休。

根據(jù)上面理論分析時(shí)提到的算法，可以得到：此時(shí)玩家的“生活水平底線”x0=6.5（注意，不是x，具體說明參見前面的理論分析），n=[97.25]=97，除抽卡氪金以外的一般生活消費(fèi)在總消費(fèi)預(yù)算中占比僅為3%。

這就是這個(gè)機(jī)制的第二個(gè)可怕之處：一定條件下，如果玩家運(yùn)氣差，抽卡失敗的下場(chǎng)會(huì)非常之慘。當(dāng)然，這里的前提是一定條件下。如果條件足夠，此時(shí)這種機(jī)制下，除抽卡氪金以外的一般生活消費(fèi)在總消費(fèi)預(yù)算中占比，說不定還能達(dá)到為90%呢。

現(xiàn)在我們來考慮“漲錢”的情況。假如玩家的總預(yù)算額從一萬元漲到了十萬元，情況又會(huì)發(fā)生什么樣的變化呢？

如果此時(shí)采用的是“一次性無限制連抽”，很容易得到：n=192，且此時(shí)，除抽卡氪金以外的一般生活消費(fèi)在總消費(fèi)預(yù)算中占比為80.8%。

如果此時(shí)采用的是“無限制‘單抽+十連’”，首先，玩家的抽卡次數(shù)依然將會(huì)是一個(gè)隨機(jī)變量。而且，如果玩家的運(yùn)氣還非常差（但本人不知道），同樣可以得到：此時(shí)玩家的“生活水平底線”x0=6.5，n=997，除抽卡氪金以外的一般生活消費(fèi)在總消費(fèi)預(yù)算中占比僅為0.3%。

事實(shí)上，如果同時(shí)還計(jì)算了玩家運(yùn)氣最好的情況，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，隨著收入的增加，這個(gè)隨機(jī)變量的上下限之差將會(huì)進(jìn)一步拉大。當(dāng)然，這里想要強(qiáng)調(diào)的是另一點(diǎn)，也是這個(gè)機(jī)制的第三個(gè)可怕之處：如果玩家運(yùn)氣差，即使自己收入增加，抽卡失敗的下場(chǎng)會(huì)也不會(huì)得到任何改善，甚至可能只會(huì)越來越慘。

從另一方面來看，在此時(shí)的假設(shè)條件下，這還正好襯托出了“一次性無限制連抽”機(jī)制的一個(gè)相對(duì)的“優(yōu)勢(shì)”：即使運(yùn)氣太差，玩家的生活境遇也不會(huì)差到哪里去。正如上面提到的，無論總預(yù)算多少，氪金預(yù)算永遠(yuǎn)占比約五分之一還少一點(diǎn)。也就是說，在這個(gè)例子里，氪金預(yù)算占比永遠(yuǎn)小于五分之一。這可是一個(gè)能非常令人安心的一個(gè)結(jié)論。

現(xiàn)實(shí)情況探討

實(shí)際的抽卡情況當(dāng)然不會(huì)這么聳人聽聞。且不說機(jī)制本身造成的隨機(jī)性掩蓋了玩家們的可能的最差情況，游戲方面，有保底機(jī)制、游戲特色；玩家方面，有自制力、特殊偏好。這些以及種種一時(shí)難以列舉出來的因素，都在一定程度上限制著玩家的抽卡次數(shù)。

需要單獨(dú)說明的一點(diǎn)是“單抽+十連”這種抽卡方式本身。它確實(shí)是方便了玩家大量氪金，避免了玩家對(duì)于因大量氪金導(dǎo)致的大量重復(fù)抽卡動(dòng)作而產(chǎn)生的厭煩。但從另一方面來看，它也使得前面的理論假設(shè)進(jìn)一步符合現(xiàn)實(shí)情況，因?yàn)榇罅康膯纬閯?dòng)作明顯會(huì)影響單抽時(shí)的邊際效用。這也是前面一直強(qiáng)調(diào)“單抽+十連”這個(gè)詞的原因。

但即使現(xiàn)實(shí)中有如此多的因素在限制玩家的抽卡氪金量，只要無限制“單抽+十連”這個(gè)基本機(jī)制沒有變，上面的基本結(jié)論就不會(huì)變。即使“生活水平底線”或許會(huì)被不斷抬高，玩家也會(huì)把新增工資更多地用于其他的生活消費(fèi)，但只要依然是這樣的一個(gè)抽卡機(jī)制，它所帶來的問題本身也依然會(huì)繼續(xù)存在著，只是這個(gè)問題所帶來后果的嚴(yán)重程度可能會(huì)有所減輕。

而且，比起已經(jīng)開始參與工作的成年人，還未步入社會(huì)體會(huì)到賺錢辛勞的未成年人似乎更容易符合上面模型的情況。他們或許也曾試圖像上面那樣規(guī)劃自己的氪金額度，但實(shí)際抽卡中較弱的自制力以及抽卡次數(shù)的隨機(jī)性，很可能會(huì)導(dǎo)致實(shí)際氪金情況不一定符合自身預(yù)期。而且他們所有的錢也都只是長(zhǎng)輩們給的“零花錢”，“生活水平底線”自然要比一般的成年人低很多，運(yùn)氣差時(shí)，如果還抽上頭的話，很可能會(huì)把“零花錢”全花光。而這對(duì)于一個(gè)家庭來說，由于不像“一次性無限制連抽”機(jī)制那樣存在“兜底”，只是徒增了一筆毫無用處的開銷。這樣的開銷只有等到成年工作之后才會(huì)有所減少，且不會(huì)徹底消失。

建議

在這篇文章的最開頭就說過，這篇文章無法給到氪金玩家們?nèi)魏螌?shí)際性的建議。因此，這里的建議只是針對(duì)可以改變現(xiàn)狀的人們來說的（當(dāng)然不包括我就是了）。很大程度上，這就是在異想天開了。但既然分析到這里了，還是不得不再說兩句的。

可以的話，希望不要再繼續(xù)采用無限制“單抽+十連”這種氪金抽卡機(jī)制了。連抽次數(shù)可以不限制，但氪金抽卡次數(shù)希望能夠得到限制，最好一次卡池限制只能氪金抽卡一次，但可以同時(shí)多連抽。

只有這樣，玩家們抽卡前的理性分析才能真正切實(shí)地派上用場(chǎng)，玩家運(yùn)氣太差導(dǎo)致的嚴(yán)重后果才能從根本上得到最大的緩解（完全解決掉恐怕是不可能的，畢竟是抽卡）。

當(dāng)然，這種做法推行的阻力必然是非常大的。即使個(gè)別游戲更換了機(jī)制，由于新的機(jī)制在利潤(rùn)獲取方面的能力必然不如原來的機(jī)制，這些個(gè)別游戲的廠商遲早又會(huì)換回去。這就像微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中提到的“市場(chǎng)失靈”，單靠極個(gè)別的國(guó)內(nèi)乃至國(guó)際市場(chǎng)的參與者，恐怕也改變不了什么。而且，這種機(jī)制的改革，實(shí)際上到底能產(chǎn)生多大效益呢？這或許也不容樂觀。

所以，這段所謂的建議，也只不過算是在紙上談兵，聊勝于無了。

匆匆而就，難免錯(cuò)漏，還望見諒。

就先這樣吧，還要還債呢