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原文出處：拓端數(shù)據(jù)部落公眾號(hào)

假設(shè)調(diào)查人員有興趣檢查減肥干預(yù)方法的三個(gè)組成部分。這三個(gè)組成部分是：

1. 記錄食物日記（是/否）

2. 增加活動(dòng)（是/否）

3. 家訪（是/否）

調(diào)查員計(jì)劃調(diào)查所有?

?，實(shí)驗(yàn)條件的組合。實(shí)驗(yàn)條件為

• 要執(zhí)行因子設(shè)計(jì)，您需要為多個(gè)因子（變量）中的每一個(gè)選擇固定數(shù)量的水平，然后以所有可能的組合運(yùn)行實(shí)驗(yàn)。

• 這些因素可以是定量的或定性的。

• 定量變量的兩個(gè)水平可以是兩個(gè)不同的溫度或兩個(gè)不同的濃度。

• 定性因素可能是兩種類型的催化劑或某些實(shí)體的存在和不存在。

符號(hào)?

： - 因子數(shù) (3) - 每個(gè)因子的水平數(shù) (2) - 設(shè)計(jì)中有多少實(shí)驗(yàn)條件 (

)

因子實(shí)驗(yàn)可以涉及具有不同水平數(shù)量的因子。

測(cè)試：

考慮一個(gè)?

?設(shè)計(jì)。

1. 有多少因素？

2. 每個(gè)因素有多少個(gè)水平？

3. 多少實(shí)驗(yàn)條件（運(yùn)行）？

答案：

(a) 有 2+2+1 = 5 個(gè)因數(shù)。

(b) 兩個(gè)因素有4個(gè)水平，2個(gè)因素有3個(gè)水平，1個(gè)因素有2個(gè)水平。

(c) 有 288 個(gè)實(shí)驗(yàn)條件。

方差分析和因子設(shè)計(jì)之間的區(qū)別

在 ANOVA 中，目標(biāo)是比較各個(gè)實(shí)驗(yàn)條件。

讓我們考慮一下上面的食物日記研究。

我們可以通過(guò)比較食物日記設(shè)置為 NO（條件 1-4）的所有條件的平均值和食物日記設(shè)置為 YES（條件 5-8）的所有條件的平均值來(lái)估計(jì)食物日記的效應(yīng)。這也被稱為食物日記的?主效應(yīng)?，形容詞?主要?是提醒這個(gè)平均值超過(guò)了其他因素的水平。

食物日記的主要作用是：

體育鍛煉的主要作用是：

家訪的主要作用是：

使用了所有實(shí)驗(yàn)對(duì)象，但重新排列以進(jìn)行每次比較。受試者被回收以測(cè)量不同的效應(yīng)。這是析因?qū)嶒?yàn)更有效的原因之一。

執(zhí)行?

?因子設(shè)計(jì)

要執(zhí)行因子設(shè)計(jì)：

1. 為每個(gè)因子選擇固定數(shù)量的水平。

2. 以所有可能的組合運(yùn)行實(shí)驗(yàn)。

我們將討論每個(gè)因子只有兩個(gè)水平的設(shè)計(jì)。因素可以是定量的或定性的。兩個(gè)水平的定量變量可以是兩個(gè)不同的溫度或濃度。定量變量的兩個(gè)級(jí)別可以是兩種不同類型的催化劑或某些實(shí)體的存在/不存在。

一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)采用 2^3 因子設(shè)計(jì)，具有兩個(gè)定量因素 - 溫度 (T) 和濃度 (C) - 以及一個(gè)定性因素 - 催化劑 K 類型。

溫度T（C°）有兩個(gè)等級(jí)：160C°和180C°。它們分別編碼為 -1 和 +1。

濃度 C (%) 有兩個(gè)級(jí)別：20 和 40。它們分別編碼為 -1 和 +1。

催化劑 K 有兩個(gè)級(jí)別：A 和 B。它們分別編碼為 -1 和 +1。

記錄的每個(gè)數(shù)據(jù)值都是針對(duì)兩次重復(fù)運(yùn)行的平均因變量產(chǎn)量 y。

立方圖

下圖顯示了立方體角處因子 T、C 和 K 的各種組合的 y 值。例如，當(dāng) T=-1、C = 1 和 K=-1 時(shí)，從運(yùn)行 3 獲得 y=54。

• 立方體展示了這種設(shè)計(jì)如何沿著立方體的 12 個(gè)邊緣進(jìn)行 12 次比較：溫度變化影響的四個(gè)測(cè)量值；濃度變化影響的四種測(cè)量方法；催化劑變化效應(yīng)的四種測(cè)量方法。

• 在立方體的每條邊上，只有一個(gè)因子發(fā)生變化，而其他兩個(gè)因子保持不變。

1. 


2. bh4 <- lm

3. Plot

因子效應(yīng)

主要影響

運(yùn)行 1 和 2 的影響僅因溫度而不同，因?yàn)闈舛葹?20%，催化劑類型為 A。差異 72-60 = 12 提供了一種溫度影響的測(cè)量值，而其余因素保持不變。對(duì)于濃度和催化劑的四種組合中的每一種，有四種這樣的溫度效應(yīng)測(cè)量方法。

T 的主要（平均）影響是

有一組類似的濃度 C 測(cè)量值。在這些測(cè)量值中的每一個(gè)中，水平 T 和 K 都保持不變。濃度 C 的主要影響是：

C的主要（平均）影響是

K 的主要影響是

K 的主要（平均）影響是

所有 8 次運(yùn)行都用于估計(jì)每個(gè)主效應(yīng)。這就是因子設(shè)計(jì)比一次檢查一個(gè)因子更有效的原因。

一般來(lái)說(shuō)，主要影響是兩個(gè)平均值之間的差異：

其中 ˉy+?是對(duì)應(yīng)于因子 +1 水平的平均響應(yīng)，而 ˉy??是對(duì)應(yīng)于因子 -1 水平的平均響應(yīng)。

交互效應(yīng)

兩因素相互作用

當(dāng)催化劑 K 為 A 時(shí)，溫度效應(yīng)為：

當(dāng)催化劑 K 為 B 時(shí)，溫度效應(yīng)為：

這兩個(gè)平均差異之間的平均差異稱為溫度和催化劑之間的?相互作用?，用 TK 表示。這就是溫度和催化劑兩個(gè)因素之間的相互作用——溫度和催化劑之間的兩個(gè)因素相互作用。

這也可以在立方圖上看到：與立方體正面 (13) 相比，立方體 (33) 背面的平均溫度影響更大。

三因素相互作用

當(dāng)催化劑為 B（在其 +1 水平）時(shí)，濃度相互作用的溫度為：

當(dāng)催化劑為 A（在其 -1 水平）時(shí)，濃度相互作用的溫度為：

這兩種相互作用之間的差異衡量了兩種催化劑的溫度-濃度相互作用的一致性。這種差異的一半被定義為溫度、濃度和催化劑的三因素相互作用，用 TCK 表示。

因子設(shè)計(jì)中的復(fù)制

工廠實(shí)驗(yàn)的結(jié)果 y是兩次重復(fù)運(yùn)行的平均值。兩個(gè)單獨(dú)的運(yùn)行如下表所示。運(yùn)行順序是隨機(jī)的。例如，運(yùn)行 6 和 13 是 T、C 和 K（T=-1、C=-1、K=-1）的相同設(shè)置下的兩個(gè)仿行。

復(fù)制運(yùn)行并不總是可行的。工廠實(shí)驗(yàn)運(yùn)行包括清潔反應(yīng)器，插入適當(dāng)?shù)拇呋瘎┭b料，并在給定的進(jìn)料濃度下在給定的溫度下運(yùn)行設(shè)備 3 小時(shí)，以使過(guò)程在所選的實(shí)驗(yàn)條件下穩(wěn)定下來(lái)，以及 (4) 取樣在運(yùn)行的最后幾個(gè)小時(shí)內(nèi)每 15 分鐘輸出一次。

假設(shè)每次測(cè)量的方差為 σ2。每組條件下的估計(jì)方差為：

其中 yi1 是第 i 次運(yùn)行的第一個(gè)結(jié)果。在上表中diffi=(yi1?yi2)。σ2 的匯總估計(jì)是?

對(duì)于重復(fù)運(yùn)行，具有一個(gè)自由度的方差估計(jì)為?

. 這些產(chǎn)生單自由度估計(jì)的平均值產(chǎn)生具有 8 個(gè)自由度的合并估計(jì) s2=8。

重復(fù)運(yùn)行效應(yīng)的誤差方差和標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計(jì)

每個(gè)估計(jì)的效應(yīng)，例如 T、C、K、TC 等，都是 8 個(gè)觀測(cè)值的兩個(gè)平均值之間的差異。重復(fù)運(yùn)行的因子效應(yīng)方差為

因此，任何因子效應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)誤為：

結(jié)果解釋

哪些影響是真實(shí)的，哪些可以偶然解釋？一個(gè)粗略的經(jīng)驗(yàn)法則是，任何 2-3 倍于其標(biāo)準(zhǔn)誤差的效應(yīng)都不容易僅靠偶然性來(lái)解釋。

如果我們假設(shè)觀測(cè)值是獨(dú)立且正態(tài)分布的，那么

因此，95% 的置信區(qū)間可以計(jì)算為：

其中 t8,.05/2 是 t8t 的第 97.5 個(gè)百分位數(shù)。這是通過(guò)?qt()?函數(shù)在 R 中獲得的。

qt(p = 1-.025,df = 8)

因此，因子效應(yīng)的 95% 置信區(qū)間為

T 的 95% 置信區(qū)間為

K 的 95% 置信區(qū)間為

1.5-3.2 #下限?## [1] -1.71.5+3.2 #上限## [1] 4.7

溫度的影響可能不是偶然的，但偶然不能成為催化劑的影響的規(guī)則。

只有在沒(méi)有證據(jù)表明該因素與其他因素相互作用時(shí)，才應(yīng)單獨(dú)解釋一個(gè)因素的主效應(yīng)。

交互圖

下圖顯示了每對(duì)因子 TC、TK、CK（即這些因子的每個(gè)因子水平組合）的平均產(chǎn)量。這些圖通常稱為交互圖。如果兩條線平行，則表明沒(méi)有相互作用，如果兩條線交叉或接近交叉，則表明可能存在相互作用。

下圖顯示了催化劑和溫度之間的雙向相互作用。

plot(tabT,taC,ty, type = "l")

2k 因子設(shè)計(jì)的線性模型

yi 是第 i 次運(yùn)行的結(jié)果，

2^3 因子設(shè)計(jì)的線性模型是：

變量?

?是溫度和濃度之間的相互作用，xi1xi3xi1xi3 是溫度和催化劑之間的相互作用等。

參數(shù)估計(jì)是通過(guò)?lm()?R 中的函數(shù)獲得的。

1. fact.mod <-lm(y~T*K*C,data = tab0503)

2. round(summary(fact.mod)$coefficients,2)

設(shè)計(jì)矩陣?

?設(shè)計(jì)是：

這個(gè)模型矩陣?

?設(shè)計(jì)是：

model.matr

下表顯示了具有因變量的模型矩陣：

如果將 T 的列乘以平均收益率并除以 4，則得到 T 的主效應(yīng)。

估計(jì)的最小二乘系數(shù)是因子估計(jì)的二分之一，截距 β0 是樣本均值。因此，因子估計(jì)是最小二乘系數(shù)的兩倍。例如，

• 4 的除數(shù)將對(duì)比度轉(zhuǎn)換為兩個(gè)平均值之間的差異。

• 通過(guò)乘以各自因素的標(biāo)識(shí)獲得交互作用對(duì)比。

• 每列相對(duì)于其他列完全平衡（正數(shù)和負(fù)數(shù)相等）。

• 平衡（正交）設(shè)計(jì)確保每個(gè)估計(jì)的效應(yīng)不受其他效應(yīng)的大小和標(biāo)識(shí)的影響。

最小二乘估計(jì)可以在 R 中乘以 2。

1. fad <-lm

2. round(2*coeffits,2)

當(dāng)有重復(fù)運(yùn)行時(shí)，我們還從回歸模型中獲得因子效應(yīng)的 p 值和置信區(qū)間。例如，β1 的 p 值對(duì)應(yīng)于溫度的階乘效應(yīng)

如果原假設(shè)為真，那么??

?

為了獲得因子效應(yīng)的 95% 置信區(qū)間，我們將回歸參數(shù)的 95% 置信區(qū)間乘以 2。這在 R 中使用函數(shù) 很容易做到?confint()。

2*confint.lm

濃度主效應(yīng)的 95% 置信區(qū)間為 (-8.0,-1.5)，溫度和濃度之間的雙向交互作用具有 95% 置信區(qū)間 (-1.46,4.96)。

因子設(shè)計(jì)相對(duì)于一次一個(gè)因子設(shè)計(jì)的優(yōu)勢(shì)

假設(shè)一次只研究一個(gè)因素。例如，在將濃度保持在 20% (-1) 并將催化劑保持在 B (+1) 時(shí)研究溫度。

為了使效應(yīng)具有更普遍的相關(guān)性，有必要使效應(yīng)在所有其他濃度和催化劑水平上都相同。換句話說(shuō)，因素（例如，溫度和催化劑）之間沒(méi)有相互作用。如果效應(yīng)相同，則因子設(shè)計(jì)更有效，因?yàn)樾?yīng)的估計(jì)需要更少的觀察來(lái)達(dá)到相同的精度。

如果在其他濃度和催化劑水平下效應(yīng)不同，則階乘可以檢測(cè)和估計(jì)相互作用。

非重復(fù)因子設(shè)計(jì)中的正態(tài)圖

回顧正態(tài)分位數(shù)圖

一組數(shù)據(jù)的正態(tài)性可以通過(guò)以下方法來(lái)評(píng)估。讓

?表示的有序值?

. 例如，r(1) 是 r1,...,rN 的最小值，r(N) 是 r1,...,rN 的最大值。所以，如果數(shù)據(jù)是：-1, 2, -10, 20， 那么?

。

N(0,1)的累積分布函數(shù) (CDF) 具有 S 形。

1. x <- seq

2. plot(x,pnorm)

因此，一組數(shù)據(jù)的正態(tài)性檢驗(yàn)是繪制數(shù)據(jù)的有序值 r(i) 與 pi=(i-0.5)/N 的關(guān)系。如果該圖與正態(tài) CDF 具有相同的 S 形，則這表明數(shù)據(jù)來(lái)自正態(tài)分布。

下面是從圖中模擬的 1000 個(gè)隨機(jī)樣本的 r(i) 與 pi=(i?0.5)/N,i=1,...,N 的關(guān)系圖

1. N <- 1000

2. x <- rnorm(N)

3. p <- ((1:N)-0.5)/N

4. plot

我們還可以構(gòu)建一個(gè)正態(tài)的分位數(shù)-分位數(shù)圖?？梢宰C明 Φ(r(i))Φ(r(i)) 在 [0,1] 上具有均勻分布。這意味著 E(Φ(r(i)))=i/(N+1)（這是來(lái)自 [0,1] 上的均勻分布的第 i 階統(tǒng)計(jì)量的期望值。

?這意味著 N 點(diǎn) (pi,Φ(r(i))) 應(yīng)該落在一條直線上?，F(xiàn)在將 Φ?1 變換應(yīng)用于水平和垂直尺度。N個(gè)點(diǎn)

形成正態(tài)概率圖?

. 如果?

?是從正態(tài)分布生成的，然后是點(diǎn)圖?

?應(yīng)該是一條直線。

在 R?qnorm()?中是 Φ-1。

1. 


2. plot(qnorm(p),sort(x))

我們通常使用內(nèi)置函數(shù)?qqnorm()?（并?qqline()?添加一條直線進(jìn)行比較）來(lái)生成 QQ 圖。請(qǐng)注意，R 使用稍微更通用的分位數(shù)版本 (pi=(1?a)/(N+(1?a)?a)，其中 a=3/8，如果 N≤10，a=1/2，如果N>10。

qqnorm(x);qqline(x)

該圖與直線的顯著（系統(tǒng)性）偏差表明：

1. 正態(tài)假設(shè)不成立。

2. 方差不是恒定的。

一個(gè)主要應(yīng)用是在因子設(shè)計(jì)中，其中 r(i) 被有序因子效應(yīng)代替。設(shè) ^θ(1)<^θ(2)<?<^θ(N) 為 N 個(gè)有序因子估計(jì)。如果我們繪制

那么接近 0 的階乘效應(yīng) ^θi 將沿直線下降。因此，偏離直線的點(diǎn)將被宣布為重要點(diǎn)。

基本原理如下： 1. 假設(shè)估計(jì)效應(yīng) ^θi 為 N(θ,σ)（估計(jì)效應(yīng)涉及 N 個(gè)觀測(cè)值的平均值，CLT 確保 N 小至 8 的平均值接近正態(tài)）。2. 如果 H0:θi=0,i=1,...,N 為真，那么所有估計(jì)的影響都將為零。3. 估計(jì)效應(yīng)的結(jié)果正態(tài)概率圖將是一條直線。4. 因此，正態(tài)概率圖是檢驗(yàn)所有估計(jì)的效應(yīng)是否具有相同的分布（即相同的均值）。

• 當(dāng)一些效應(yīng)不為零時(shí)，相應(yīng)的估計(jì)效應(yīng)將趨于更大并偏離直線。

• 對(duì)于正面影響，估計(jì)的影響落在該線之上，而負(fù)面影響落在該線之下。

示例 -?

?研究化學(xué)反應(yīng)的設(shè)計(jì)

一個(gè)工藝開(kāi)發(fā)實(shí)驗(yàn)研究了四個(gè)因素?

?因子設(shè)計(jì)：催化劑裝料量?1、溫度?2、壓力?3和其中一種反應(yīng)物的濃度?4。因變量 y 是 16 個(gè)運(yùn)行條件中每個(gè)條件下的轉(zhuǎn)化百分比。該設(shè)計(jì)如下圖所示。

該設(shè)計(jì)未重復(fù)，因此無(wú)法估計(jì)因子效應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)誤差。

fct1 <- lm

可以獲得因子效應(yīng)的正態(tài)圖?。

Plot(fac

對(duì)應(yīng)的效應(yīng)?x1, x4, x2:x4, x2?不會(huì)沿著直線下降。

半正態(tài)圖

相關(guān)的圖形方法稱為半正態(tài)概率圖。讓

表示無(wú)標(biāo)識(shí)因子效應(yīng)估計(jì)的有序值。

根據(jù)半正態(tài)分布的坐標(biāo)繪制它們 - 正態(tài)隨機(jī)變量的絕對(duì)值具有半正態(tài)分布。

半正態(tài)概率圖由點(diǎn)組成

該圖的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是所有較大的估計(jì)效應(yīng)都出現(xiàn)在右上角并落在該線之上。

可以獲得過(guò)程開(kāi)發(fā)示例中效應(yīng)的半正態(tài)圖half = TRUE。

Lenth 方法：檢驗(yàn)沒(méi)有方差估計(jì)的實(shí)驗(yàn)的顯著性

半正態(tài)圖和正態(tài)圖是涉及視覺(jué)判斷的非正式圖形方法。最好根據(jù)正式的顯著性檢驗(yàn)來(lái)定量地判斷與直線的偏差。

在 2k設(shè)計(jì) N=2k-1 中估計(jì) θ1,θ2,...,θN的因子效應(yīng)。假設(shè)所有因子效應(yīng)具有相同的標(biāo)準(zhǔn)差。

偽標(biāo)準(zhǔn)誤差 (PSE) 定義為

其中中位數(shù)是在 ∣∣^θi∣ 中計(jì)算的?

?和

估計(jì)的因子效應(yīng)為：

ef <- 2*fat1$coeffic

s0=1.5?median∣∣^θi∣∣的估計(jì)是

1. s0 <- 1.5*median(abs(eff))

2. s0

修整常數(shù) 2.5s0 是

2.5*s0

∣∣^θi∣∣≥2.5s0 的效應(yīng) ^θi 將被修剪。下面是標(biāo)記為?TRUE?(?x1,x2,x4,x2:x4)的效應(yīng)

abs(eff)<2.5*s0

然后將 PSE 計(jì)算為這些值中位數(shù)的 1.5 倍。

1. PE <- 1.5*median

2. PE

ME 和 SME 是

1. ME <- PE*qt

2. ME

PE*qt(p =(1+.95^{1/15})/2,df=(16-1)/3)

因此，效應(yīng)的 95% 置信區(qū)間為：

1. lor <- round(ef-ME,2)

2. uper <- round(ef+ME,2)

3. kable(cbind)

具有 MEME 和 SME 的效應(yīng)圖通常稱為 Lenth 圖。PSE,ME,SMEPSE,ME,SME 的值是輸出的一部分。下圖中的尖峰用于顯示因子效應(yīng)。

Plot(fat1,cex.fac = 0.5)

該選項(xiàng)?cex.fac = 0.5?調(diào)整用于因子標(biāo)簽的字符大小。

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