看不懂的高等代數(shù)（六）

2023-04-12 23:46 作者:不能吃的大魚(yú) 0人讀過(guò) | 我要投稿

呦吼！又和大家見(jiàn)面啦！

主要是這個(gè)學(xué)期實(shí)在是比較忙（懶），專欄也沒(méi)啥更新的動(dòng)力……所以就很容易擺爛（）

現(xiàn)在想來(lái)還是要多寫一些，讓自己的大腦活動(dòng)起來(lái)，不至于太過(guò)于混沌，一旦知識(shí)需要應(yīng)用就能夠調(diào)動(dòng)出來(lái)~

我們上一篇已經(jīng)講完了行列式的全部?jī)?nèi)容，那么現(xiàn)在我們就要看一看，行列式到底能有什么用。因此，我們要先來(lái)介紹一個(gè)對(duì)于代數(shù)學(xué)而言比較重要的概念——n維向量空間。

Chapter? Three? n維向量空間 $K%5En$

3.1? n維向量空間 $K%5En$ 及其子空間

回憶一下我們?cè)跀?shù)學(xué)分析部分介紹的多元函數(shù)的基本集合概念部分。我們?cè)谀菚r(shí)介紹了有關(guān)n維Euclid空間當(dāng)中的點(diǎn)與向量的概念，并且解釋說(shuō)，在n維Euclid空間當(dāng)中，點(diǎn)與向量其實(shí)是一對(duì)等價(jià)的概念，只是描述角度與觀點(diǎn)不同罷了。在必要的時(shí)候，二者之間可以互相靈活轉(zhuǎn)換。

而對(duì)于n維Euclid空間而言，其構(gòu)建是n個(gè)實(shí)數(shù)集進(jìn)行直積的結(jié)果。我們現(xiàn)在對(duì)其進(jìn)行推廣與擴(kuò)充，考慮更為一般的數(shù)域K（可大可小，大到復(fù)數(shù)域C，小到有理數(shù)域Q），并將n個(gè)數(shù)域K進(jìn)行直積，得到了一個(gè)關(guān)于K的n維空間。這一空間的基本架構(gòu)與n維Euclid空間一樣，其基本元素也為“點(diǎn)”或“向量”，故我們一般稱之為n維向量空間，記作 $K%5En$ 。

在這一意義上，n維Euclid空間是一個(gè)特殊的n維向量空間。

任何n維向量空間都應(yīng)該滿足基本的加法與數(shù)乘運(yùn)算規(guī)律，即線性性質(zhì)。

不過(guò)，與我們?cè)诜治鰧W(xué)所介紹的略有不同。我們?cè)诜治鰧W(xué)當(dāng)中所介紹的向量概念是不分行列的，即在寫法上，我們一般都寫作橫向的，而不會(huì)認(rèn)同豎向的寫法。但是，在代數(shù)學(xué)當(dāng)中，多數(shù)時(shí)候我們提到向量，反而是豎向的寫法（稱為列向量），而將橫向的寫法（行向量）看做是列向量的轉(zhuǎn)置。

利用向量的表法與概念，我們可以將線性方程組寫作：

$%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20x_i%5Cboldsymbol%20%5Calpha_i%3D%5Cboldsymbol%20%5Cbeta$

其中，有：

$%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20%3D(a_1%2Ca_2%2C%5Ccdots%20%2Ca_n)%5ET%EF%BC%8C%5Cboldsymbol%20%5Cbeta%20%3D(b_1%2Cb_2%2C%5Ccdots%20%2Cb_n)%5ET$

我們稱等號(hào)左側(cè)只通過(guò)向量的加法與數(shù)乘運(yùn)算組合到一起的方式稱為向量的線性組合，稱 $x_i$ 為組合系數(shù)，簡(jiǎn)稱為系數(shù)。

上述方程組有解，就說(shuō)明至少存在一組系數(shù)，使得常向量組 $%5C%7B%5Cboldsymbol%20%5Calpha_i%5C%7D$ 能夠組合成等號(hào)右側(cè)的常向量。此時(shí)，我們就稱向量 $%5Cboldsymbol%20%5Cbeta$ 能夠被向量組 $%5C%7B%5Cboldsymbol%20%5Calpha_i%5C%7D$ 線性表出。

通過(guò)這樣的處理，我們就將方程組是否有解的問(wèn)題，轉(zhuǎn)換為了向量之間的線性表出的問(wèn)題。

一個(gè)很直接的想法是，既然我們想要研究向量 $%5Cboldsymbol%20%5Cbeta$ 是否能被向量組 $%5C%7B%5Cboldsymbol%20%5Calpha_i%5C%7D$ 線性表出，那么我們就將所有的線性組合找出，構(gòu)成一個(gè)集合：

$U%3D%5C%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ek%20c_i%20%5Cboldsymbol%20%5Calpha_i%7Cc_i%5Cin%20K%2Ci%3D1%2C2%2C%5Ccdots%20%2Cn%5C%7D$

只要我們能研究清楚這一集合的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)，我們就能將這一問(wèn)題解決。

（最直接地，只要看我們想要尋找的向量是否在這一集合內(nèi)即可。）

顯然，這一集合是對(duì)加法與數(shù)乘運(yùn)算是封閉的。（命題1）因此，可以看到，這其實(shí)也是一個(gè)空間。而由于 $U%5Cin%20K%5En$ ，于是我們稱之為 $K%5En$ 的線性子空間，簡(jiǎn)稱為子空間。

我們知道，對(duì)于n維Euclid空間而言，所有向量都可以被向量組 $%5C%7B%5Cboldsymbol%20%5Cvarepsilon_i%5C%7D$ 線性表出；同時(shí)，該向量組內(nèi)的任意向量都不能被組內(nèi)的其他向量線性表出。

（ $%5Cboldsymbol%20%5Cvarepsilon_i%3D(0%2C0%2C%5Ccdots%20%2C1%2C%5Ccdots%200)$ ，第i個(gè)分量為1，其他分量為0）

我們稱這樣的向量組為該空間的基向量組，簡(jiǎn)稱為基向量或者基。

顯然， $%5C%7B%5Cboldsymbol%20%5Calpha_i%5C%7D$ 滿足了作為子空間U的基的必要條件。當(dāng)然，我們還不清楚，該向量組內(nèi)的向量之間的表出關(guān)系，因此無(wú)法給出“一定是基向量組”這一結(jié)論。不過(guò)，至少我們可以說(shuō)，子空間U是由該向量組生成的，其中的所有向量是由該組向量所組合成的。此時(shí)，稱U為由該向量組生成的（或張成的）子空間，記作：

$U%3D%3C%5Cboldsymbol%20%5Calpha_1%2C%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_2%2C%5Ccdots%20%2C%5Cboldsymbol%20%5Calpha_k%3E$

更一般地，我們也可以稱對(duì)于任意的n個(gè)向量而言，空間：

$U%3D%3C%5Cboldsymbol%20%5Calpha_1%2C%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_2%2C%5Ccdots%20%2C%5Cboldsymbol%20%5Calpha_n%3E$

是由這n個(gè)向量生成的空間。

于是，線性方程組有解就等價(jià)于 $%5Cboldsymbol%20%5Cbeta%20%5Cin%20U$ 。

Chapter? Three??n維向量空間 $K%5En$

3.2? 線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的向量組

現(xiàn)在，我們希望研究出對(duì)于任意的n維向量空間而言，具有這樣類似 $%5C%7B%5Cboldsymbol%20%5Cvarepsilon_i%5C%7D$ 的特性的向量組是否都存在？如果存在，是否唯一？如果不唯一，那么最基本的充分必要條件是什么？

（必要條件：如果所有向量都能被該向量組線性表出，那么該向量組應(yīng)該滿足的條件；）

（充分條件：滿足該條件即可將空間中的所有向量都線性表出。）

既然想要仔細(xì)研究這一點(diǎn)，我們就要從根本上來(lái)看，也就是說(shuō)我們要研究一下線性組合與線性表出本身。

按照我們剛剛所討論的那樣，所謂線性表出，不過(guò)是說(shuō)：

$%5Cexists%20%5C%7Bc_i%5C%7D%5Csubset%20K%EF%BC%8C%5Cboldsymbol%20%5Cbeta%20%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20c_i%5Cboldsymbol%20%20%20%5Calpha%20_i$

也即：

$%5Cexists%20%5C%7Bc_i%5C%7D%5Csubset%20K%EF%BC%8C%5Cboldsymbol%20%5Cbeta%20-%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20c_i%5Cboldsymbol%20%20%20%5Calpha%20_i%3D%5Cboldsymbol%200$

并且，至少向量 $%5Cboldsymbol%20%5Cbeta%20$ 的組合系數(shù)是不為0的。如果我們將 $%5Cboldsymbol%20%5Cbeta%20$ 加入向量組 $%5C%7B%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_i%5C%7D$ （并記為 $%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_%7Bn%2B1%7D$ ），那么我們就能得到：

$%5Cexists%20%5C%7Bc_i%5C%7D%5Csubset%20K%EF%BC%8C%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%2B1%7D%20c_i%5Cboldsymbol%20%20%20%5Calpha%20_i%3D%5Cboldsymbol%200%5Cquad%20%5Cbigg(%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%2B1%7D%20c_i%5E2%E2%89%A00%5Cbigg)$

此時(shí)，我們稱向量組線性相關(guān)。反之，如果該式成立當(dāng)且僅當(dāng)：

$%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%2B1%7D%20c_i%5E2%3D0$

則稱向量組線性無(wú)關(guān)。

如果某一向量組線性相關(guān)，則至少有組中的一個(gè)向量能夠被其他向量線性表出。

回過(guò)頭來(lái)我們?cè)倏?，n維Euclid空間的一組基正好滿足了線性無(wú)關(guān)的條件。這就是說(shuō)，某一向量組作為某一空間的基的必要條件為其線性無(wú)關(guān)。

至于充分條件為何，我們暫不討論，留待下節(jié)研究。

我們先就目前的結(jié)果，來(lái)向大家揭示行列式的第一個(gè)作用——判斷向量組的線性相關(guān)性。

我們知道，如果向量組 $%5C%7B%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_i%5C%7D$ 線性相關(guān)，那么就有：

$%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20c_i%5Cboldsymbol%20%20%20%5Calpha%20_i%3D%5Cboldsymbol%200$

此時(shí)，方程組：

$%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20x_i%5Cboldsymbol%20%20%20%5Calpha%20_i%3D%5Cboldsymbol%20%5Cbeta$

的解的情況分為兩種：

（1）無(wú)解；

（2）有無(wú)窮多組解。

當(dāng) $%5Cboldsymbol%20%5Cbeta%20%3D%5Cboldsymbol%200$ 時(shí)，此時(shí)該齊次方程組的解的情況只有第二種可能，此時(shí)有行列式：

$%7C%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_1%20%2C%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_2%2C%5Ccdots%20%2C%5Cboldsymbol%20%5Calpha_n%7C%3D0$

根據(jù)互斥原理，由于線性無(wú)關(guān)與線性相關(guān)互斥，行列式為0與不為0互斥，則我們能夠得到：

（1）向量組 $%5C%7B%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_i%5C%7D$ 線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)：

$%7C%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_1%20%2C%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_2%2C%5Ccdots%20%2C%5Cboldsymbol%20%5Calpha_n%7C%3D0$

（2）向量組 $%5C%7B%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_i%5C%7D$ 線性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)：

$%7C%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_1%20%2C%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_2%2C%5Ccdots%20%2C%5Cboldsymbol%20%5Calpha_n%7C%E2%89%A00$

（這其實(shí)是一個(gè)很簡(jiǎn)單的原理，大家可以通過(guò)反證法簡(jiǎn)單證明。）

于是我們就得到了判斷一個(gè)n元向量組的線性相關(guān)性的行列式判據(jù)。

思考：

證明命題1；
證明：任意n-1維Euclid空間都是n維Euclid空間的子空間，從而任意k維（k≤n）Euclid空間都是n為Euclid空間的子空間；
寫出一個(gè)二維平面的非 $%5C%7B%5Cboldsymbol%20%5Cvarepsilon_i%5C%7D$ 基，并證明這是一個(gè)基；
證明：線性相關(guān)的向量組的局部組也相關(guān)；

（局部組是指向量組去掉相同位置的某幾個(gè)分量所構(gòu)成的向量組）
證明：線性無(wú)關(guān)的向量組的延伸組也無(wú)關(guān)；

（延伸組是指向量組加上某幾個(gè)相同位置的分量所構(gòu)成的向量組）
證明：向量 $%5Cboldsymbol%20%5Cbeta%20$ 由向量組 $%5C%7B%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_i%5C%7D$ 線性表出的方式唯一的充分必要條件為向量組 $%5C%7B%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_i%5C%7D$ 線性無(wú)關(guān)；
證明替換定理：

設(shè)向量組 $%5C%7B%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_i%5C%7D$ 線性無(wú)關(guān)，且：

$%5Cboldsymbol%20%5Cbeta%20%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20c_i%5Cboldsymbol%20%20%20%5Calpha%20_i%5Cquad%20(c_k%E2%89%A00)$

則用向量 $%5Cboldsymbol%20%5Cbeta%20$ 替換向量 $%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_k$ 后得到的向量組也線性無(wú)關(guān)。