1.3路徑積分和點(diǎn)粒子

讓我們從分析所有可能系統(tǒng)中最簡(jiǎn)單的——傳統(tǒng)非相對(duì)論粒子來(lái)開(kāi)始我們的討論。驚人的是，對(duì)這個(gè)簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的大部分分析都能直接延續(xù)到超弦理論。我們用的語(yǔ)言是路徑積分的闡述，這個(gè)闡述通用到

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可以將半經(jīng)典量子化和正則量子化都同樣簡(jiǎn)單地囊括起來(lái)。

????在經(jīng)典力學(xué)中，起始點(diǎn)是一個(gè)點(diǎn)粒子的拉格朗日量。

在這里粒子是在外電位中運(yùn)動(dòng)的。真材實(shí)料的物理要保證作用量S必須是最小。運(yùn)動(dòng)方程可以通過(guò)最小作用量推導(dǎo)出來(lái)：

為了計(jì)算運(yùn)動(dòng)方程，讓我們?cè)诹Ｗ拥穆窂缴献鲆稽c(diǎn)小小的改動(dòng)，就像這樣：

有了這個(gè)小改動(dòng)，作用量就變成了這樣：

分部積分，我們得到歐拉-拉格朗日方程：

對(duì)于我們的例子，運(yùn)動(dòng)方程變成

它和經(jīng)典的牛頓運(yùn)動(dòng)方程是一樣的。

????除了經(jīng)典力學(xué)的拉格朗日公式，還有哈密頓的形式。我們現(xiàn)在不把位置和速度作為基本對(duì)象引入，而是引入位置和動(dòng)量：

根據(jù)共軛變量的定義，我們有

最后，動(dòng)量和坐標(biāo)之間的泊松（Poisson）括號(hào)由它給予

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????經(jīng)典力學(xué)的一個(gè)著名定理表明，牛頓運(yùn)動(dòng)方程和作用量原理方法是相同的，從作用原理開(kāi)始我們可以推導(dǎo)出牛頓運(yùn)動(dòng)方程，反之亦然

????????????????????運(yùn)動(dòng)方程←→作用量原理

????然而，這種等效性在量子水平上就破滅了。（This equivalence,however,breaks down at the quantum level.）從量子力學(xué)的角度看，兩者之間存在根本性的區(qū)別，運(yùn)動(dòng)方程只是對(duì)物質(zhì)實(shí)際量子行為的近似。因此，最小作用量原理是量子力學(xué)唯一可接受的框架。（Thus,the action principle is the only acceptable framework for quantum mechanics.）

????現(xiàn)在讓我們用費(fèi)曼路徑積分來(lái)重新闡述量子力學(xué)的原理：

（1）粒子從a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)的概率P(a,b)是一個(gè)復(fù)數(shù)的絕對(duì)值的平方，即過(guò)渡函數(shù)K(a,b)：

（2）過(guò)渡函數(shù)是由一個(gè)確定的相位因子的加和得出的，該相位因子是作用量S的函數(shù)，囊括了a到b的所有可能路徑：

常數(shù)k可由它確定

并且這個(gè)中間加和囊括了所有到達(dá)中間點(diǎn)b的路徑

第二個(gè)原理說(shuō)明一個(gè)粒子“嗅聞出”所有從點(diǎn)a到點(diǎn)b的可能路徑，不管這些路徑有多復(fù)雜。我們給這無(wú)窮多的路徑中的每一條都計(jì)算出相位因子，然后通過(guò)加和所有可能的相位因子來(lái)計(jì)算a到b之間路徑的過(guò)渡因子（參見(jiàn)圖1.6）。

值得注意的是，量子力學(xué)的本質(zhì)體現(xiàn)在這兩個(gè)原理中。（the essence of quantum mechanics is captured in these two principles.）量子力學(xué)所有極其重要的、代表著及其反對(duì)經(jīng)典力學(xué)的內(nèi)涵，都可以從這兩個(gè)看上去人畜無(wú)害的原理中推導(dǎo)出來(lái)！特別是這兩個(gè)原理總結(jié)出雙縫實(shí)驗(yàn)量子表述的本質(zhì)，而雙縫實(shí)驗(yàn)反過(guò)來(lái)又總結(jié)量子力學(xué)自身的本質(zhì)。

顯然在這一點(diǎn)上，經(jīng)典力學(xué)的結(jié)果可以從我們的兩個(gè)假設(shè)近似地再現(xiàn)出來(lái)，注意到

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對(duì)于與普朗克常數(shù)相比較大的S的值，相位因子波動(dòng)迅速，消除了這些貢獻(xiàn)：

因此，對(duì)路徑積分那些唯一的貢獻(xiàn)是與經(jīng)典路徑的偏離在一個(gè)普朗克常數(shù)上的：

我們看到只有在一個(gè)確定的經(jīng)典極限中，也就是普朗克常數(shù)變成零的時(shí)候，歐拉-拉格朗日方程才能再現(xiàn)。因此普朗克常數(shù)的大小最終決定了一個(gè)粒子執(zhí)行經(jīng)典禁錮的軌跡的可能性。我們看到海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理的起源就體現(xiàn)在這兩個(gè)原理中。

現(xiàn)在讓我們嘗試用路徑積分來(lái)更精確地重新表述這個(gè)原理。第二個(gè)原理現(xiàn)在是

在這里

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以及

在這里標(biāo)n標(biāo)記了N個(gè)中間點(diǎn)，這些中間點(diǎn)劃分了初始坐標(biāo)和最終坐標(biāo)之間的間隔。我們要取N趨近于無(wú)窮大的極限。

????理解Dx的積分不是對(duì)x的普通積分是絕對(duì)必要的，事實(shí)上，它是對(duì)a點(diǎn)和b點(diǎn)之間的所有中間點(diǎn)x下標(biāo)i,n的所有可能的積分的乘積，普通積分和函數(shù)積分之間的關(guān)鍵區(qū)別是路徑積分形式的核心。

????這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)的積分，反過(guò)來(lái)，相當(dāng)于對(duì)a和b之間所有可能的路徑求和，因此，在對(duì)無(wú)窮多個(gè)中間點(diǎn)進(jìn)行積分時(shí)，我們必須小心地納入歸一化因子。

????如果我們?nèi)=1/2 mx'^2，所有的泛函表示積分實(shí)際上都可以精確地執(zhí)行。這里的積分是高斯積分，幸運(yùn)的是，它是少數(shù)可以被精確計(jì)算的函數(shù)積分之一。路徑積分方法的一大尷尬之處在于，實(shí)際上可以計(jì)算的少數(shù)幾個(gè)積分之一是

我們將在整本書(shū)中都用到這個(gè)公式。

????讓我們現(xiàn)在把路徑分成無(wú)數(shù)個(gè)中間點(diǎn)x下標(biāo)i,n（注意到該函數(shù)表達(dá)出對(duì)中間點(diǎn)x下標(biāo)i,n所有可能值的積分，所以我們不能說(shuō)x下標(biāo)i,n和x下標(biāo)i,n+1彼此挨著對(duì)方，即使時(shí)間間隔很小。）我們寫(xiě)下

為了在無(wú)窮多個(gè)中間點(diǎn)上計(jì)算函數(shù)的積分，我們將多次使用下面的高斯積分：

這里有個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是，在一個(gè)中間點(diǎn)上對(duì)一個(gè)高斯分布積分，會(huì)得到另一個(gè)去掉中間點(diǎn)的高斯分布。這就是我們?yōu)槭裁茨軌蛟跓o(wú)限個(gè)中間點(diǎn)上進(jìn)行泛函積分的根本原因。

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最終，我們要計(jì)算的路徑積分就在這里

（這里我們已經(jīng)間隔了向量標(biāo)i）。運(yùn)用之前這個(gè)關(guān)系（1.3.20），最終結(jié)果就等于

過(guò)渡概率函數(shù)K有很多有意思的性質(zhì)。比如，它得出波動(dòng)方程

此時(shí)t下標(biāo)a比t下標(biāo)b更大。

稍后，我們將把這些表達(dá)式推廣到自由傳播弦的情況下，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)格林函數(shù)的這些表達(dá)式只有很小但很重要的變化。

為了展示路徑積分方法中哈密頓形式和拉格朗日形式之間的關(guān)系，當(dāng)我們劃分從a到b的路徑時(shí)，插入一組完整的中間狀態(tài)很有幫助。讓我們把變量x看作一個(gè)作用于一組本征態(tài)的算子x抑揚(yáng)符:

|x>表示位置算子的本征態(tài)，將x抑揚(yáng)符視為本征值等于數(shù)字x的算子。那么，對(duì)于坐標(biāo)和動(dòng)量的本征態(tài)的完備性可以表示為

我們將狀態(tài)歸一化如下:

(由于在路徑積分形式中不斷出現(xiàn)無(wú)數(shù)的歸一化常數(shù)，為了清晰起見(jiàn)，我們?cè)诒緯?shū)中經(jīng)常把它們刪掉。我們不會(huì)失去任何一般性，因?yàn)楫?dāng)然，只要我們?cè)敢?，我們就可以將它們重新塞進(jìn)路徑積分。)

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有了這些本征態(tài)，我們現(xiàn)在可以重寫(xiě)從點(diǎn)x下標(biāo)1到x下標(biāo)N的格林函數(shù)的表達(dá)式。

為了推導(dǎo)之前過(guò)渡振幅的表達(dá)式(1.3.22)，我們?cè)趚下標(biāo)1到x下標(biāo)N的每個(gè)中間點(diǎn)插入一組完整的中間狀態(tài):

現(xiàn)在讓我們用哈密頓的方法來(lái)檢查每一個(gè)無(wú)窮小的傳播子，我們把它寫(xiě)成坐標(biāo)和偏微分的函數(shù):

則無(wú)窮小區(qū)間的躍遷由它得到

值得注意的是，路徑積分使得從經(jīng)典換向子到量子換向子的過(guò)渡成為可能。哈密頓量既可以表示為對(duì)位置的偏微分的函數(shù)，也可以表示為正則動(dòng)量的函數(shù)，因?yàn)橛袀€(gè)恒等式:

這使我們能夠搞出這個(gè)重要的等式:

在泛函形式中，動(dòng)量和偏微分之間的重要對(duì)應(yīng)關(guān)系源于這個(gè)恒等式。

把這些放在一起，我們現(xiàn)在可以把完整的過(guò)渡振幅寫(xiě)成

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在這里

(像往常一樣，我們?nèi)サ袅怂械闹虚g歸一化，它們只是2π的因子。)注意函數(shù)積分之前只是一個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)，現(xiàn)在則是動(dòng)量和坐標(biāo)的函數(shù)。

為了計(jì)算原始的拉格朗日函數(shù)，我們可以精確地進(jìn)行p積分，因?yàn)樗且粋€(gè)簡(jiǎn)單的高斯積分，我們得到

因此，我們使用泛函方法在拉格朗日和哈密頓形式之間進(jìn)行了轉(zhuǎn)換。我們可以使用任意一種形式:

函數(shù)上，這兩個(gè)表達(dá)式的唯一區(qū)別是我們是對(duì)坐標(biāo)進(jìn)行積分還是對(duì)坐標(biāo)和動(dòng)量的組合進(jìn)行積分。過(guò)渡概率就可以表示為

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