（-----上接自己的數(shù)學(xué)分析001視頻筆記----）

6.實(shí)數(shù)集上的運(yùn)算

加法：

由于當(dāng)前實(shí)數(shù)是由集合定義的，本身沒有集合加集合這樣的運(yùn)算。

我們可以任取兩個(gè)集合中的元素，這兩個(gè)元素相加（這兩個(gè)元素應(yīng)位于有理數(shù)域），其相加結(jié)果的值構(gòu)成的新集合，這就是加法運(yùn)算?！揪唧w算術(shù)化語言定義詳見講義】

可以證明這樣的加法是良定義的。

定義了加法后，加法滿足運(yùn)算律：①加法結(jié)合律、②加法交換律、③加法零元、④加法負(fù)元。

加法零元和加法負(fù)元的證明注意構(gòu)造零元、負(fù)元的下集的方法。其中負(fù)元的構(gòu)造體現(xiàn)了數(shù)學(xué)分析的思想，構(gòu)造一個(gè)極小值ε，是目標(biāo)剛好越過某個(gè)臨界點(diǎn)?！咀C明見講義】

此外，加法有保序性。

實(shí)數(shù)集上乘法運(yùn)算同加法。

注意乘法運(yùn)算的定義，由于研究的對(duì)象是下集，所以可以使用先解決＞0的情況，再對(duì)＜0等情況作特殊處理的思想。

此外，運(yùn)算律中乘法負(fù)元的證明也體現(xiàn)了和加法負(fù)元同樣的思想，先構(gòu)造集合，再構(gòu)造某個(gè)極小值（乘以某個(gè)小于1的數(shù)），使達(dá)到目標(biāo)范圍。

7.通過戴德金分割定義的實(shí)數(shù)集中，可以找到一個(gè)真子集，與原先定義的有理數(shù)集同構(gòu)。

由于證明了兩者同構(gòu)，實(shí)數(shù)集中的零元和單位元可以借用實(shí)數(shù)集直接記作 0 和 1。