什么是Fractals分形？

想象一下，你有一片比薩餅，你想測(cè)量它的周長(zhǎng)，但你只有一根5英寸的冰棍棒。你把棍子放在披薩周圍，盡力而為，并確定它是15英寸左右。但是地殼是一條曲線，側(cè)面不是完全筆直的，所以這只是一個(gè)近似值。相反，讓我們使用1英寸的牙簽，它可以更緊密地跟蹤比薩餅的不規(guī)則形狀。我們的周長(zhǎng)為16.33英寸，但我們?nèi)栽谕倒p料?，F(xiàn)在，讓我們買一個(gè)顯微鏡，使用一個(gè)0.01英寸的小棍子，它可以進(jìn)入每個(gè)縫隙，并跟蹤伸出的每一個(gè)小凸起。牙簽的直線現(xiàn)在是一條擺動(dòng)的顛簸線，必須更長(zhǎng)。我們現(xiàn)在可能測(cè)量17.878”。調(diào)高放大倍率并重復(fù) - 周長(zhǎng)會(huì)越來(lái)越長(zhǎng)。

這就是分形背后的想法。在分形圖像中，您可以繼續(xù)放大，復(fù)雜性將不斷增加。大多數(shù)分形具有某種自相似性，當(dāng)您繼續(xù)放大時(shí)，您會(huì)看到相同的形狀和圖案。

以下是分形的一些經(jīng)典圖像。第一個(gè)顯示了一個(gè)稱為科赫雪花的分形。它是通過(guò)從一個(gè)三角形開始，然后采取每條邊并添加另一個(gè)突出的三角形來(lái)制成的。永遠(yuǎn)重復(fù)一遍，你就有了科赫雪花。

第二個(gè)是分形樹，其中越來(lái)越多的分支被添加到先前分支的末端。這就是電影和視頻游戲中CGI樹的制作方式。最后一張圖片顯示了著名的曼德布洛特集合，并展示了放大時(shí)自相似性的特征。

什么是曼德布洛特分形？

曼德布洛特分形是通過(guò)一遍又一遍地遞歸重復(fù)特定的數(shù)學(xué)公式而產(chǎn)生的圖像。這個(gè)數(shù)學(xué)公式使用復(fù)數(shù)，所以它不是一個(gè)直接的計(jì)算。對(duì)于圖像中的每個(gè)像素，x 和 y 坐標(biāo)用于描述復(fù)數(shù) c = （x + yi）。然后，該數(shù)字被一遍又一遍地平方。

z1= c
z2= z12+ c
z3= z22+ c
z4= z32+ c
...

在某個(gè)時(shí)候，會(huì)發(fā)生以下兩種情況之一：

• 分歧：這個(gè)數(shù)字會(huì)越來(lái)越大。如果這個(gè)數(shù)字增長(zhǎng)超過(guò)一定的極限，那么它被稱為“逃脫”，因?yàn)樗鼘⒃鲩L(zhǎng)到無(wú)窮大。當(dāng)它逃逸時(shí)，我們停止遞歸計(jì)算，但跟蹤它在轉(zhuǎn)義之前經(jīng)過(guò)了多少次迭代。此迭代計(jì)數(shù)將用于為最終圖像著色。
• 不發(fā)散：數(shù)字將收斂或反彈，但保持接近零。在某些時(shí)候（稱為迭代限制），我們放棄并停止計(jì)算。不發(fā)散的數(shù)字是曼德布洛特集合的一部分。這些通常是黑色的。

在對(duì)圖像中的每個(gè)像素進(jìn)行此計(jì)算后，我們可以根據(jù)其迭代次數(shù)對(duì)發(fā)散像素進(jìn)行著色，并將非發(fā)散像素著色為黑色，以獲得曼德布洛特集的非常著名和獨(dú)特的形狀，如下所示。這些示例圖像中的紅色框顯示了每個(gè)圖像的放大位置，以生成下一個(gè)圖像。注意模式的自相似性和遞歸性質(zhì)。

曼德布洛特分形的性質(zhì)

由于曼德布洛特分形是如此眾所周知，因此一些名稱已被賦予分形的某些部分和某些形狀。當(dāng)您探索曼德布洛特集合時(shí)，您將開始識(shí)別其中一些形狀，并且當(dāng)您繼續(xù)放大到越來(lái)越深的深度時(shí)，您將看到它們?nèi)绾我槐橛忠槐榈刂貜?fù)。

心形和燈泡

最大的區(qū)域具有獨(dú)特的心形形狀，稱為“主心形”。左邊是一個(gè)圓形，稱為“初級(jí)燈泡”。有無(wú)限多的小燈泡從曼德布洛特集合的周圍分支出來(lái)。

海馬谷

如果你放大到主心形和主燈泡之間的山谷，你就會(huì)進(jìn)入海馬谷，左邊是雙螺旋，右邊是海馬。

海馬

這種獨(dú)特的形狀看起來(lái)像一匹海馬。它可以在整個(gè)曼德布洛特集合中找到。

海馬尾

如果你放大海馬的尾巴，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)由更多海馬組成的無(wú)限深的螺旋，每個(gè)海馬都有自己的無(wú)限深的尾巴，由更多的海馬組成。

雙螺旋

在曼德布洛特集合中發(fā)現(xiàn)的另一個(gè)常見模式是無(wú)限深的雙螺旋。從雙螺旋的手臂分支出來(lái)的是更多的雙螺旋！

天線

曼德布洛特形狀的左側(cè)是一個(gè)長(zhǎng)而薄的天線，較小的天線從中分支出來(lái)。放大的越多，發(fā)現(xiàn)從其他天線分支的天線就越多。

米尼布洛特

如果你放大得足夠遠(yuǎn)，你一定會(huì)找到隱藏在原始形狀中的整個(gè)曼德布洛特形狀的精確副本。這些較小的遞歸副本稱為 Minibrots。

島嶼

如果你尋找它們，你會(huì)發(fā)現(xiàn)孤立的復(fù)雜性口袋，稱為島嶼。每個(gè)島嶼本身就是一個(gè)詞。