定義?

設(shè)? F=［x1, x2 ,x3,…xm］?R^n。A?R^n，

1? 若對(duì)任意實(shí)數(shù)λ1 ，λ2，…，λm，由∑λixi=0（i=1,…,m)可推出λ1=λ2=…=λm=0，則稱F為線性無關(guān)的向量組。

2 F中包含的線性無關(guān)的向量組的最大個(gè)數(shù)稱為F的秩。

3? 若對(duì)任意實(shí)數(shù)λ1?，λ2，…，λm，由∑λixi=0（i=1,…,m)且∑λi=0（i=1,…,m），可推出λ1 =λ2=…=0，則稱F為幾何無關(guān)的向量組

4 若A中任何不超過n+1個(gè)不同元素組成的有限集都是幾何無關(guān)的，則稱A處于一般位置。

定理

1 若F在R^n中線性（幾何）無關(guān)，則其任何子集都在R^n中是線性（幾何）無關(guān)。

2? F在R^n中是幾何無關(guān)的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的x0∈F，集合［x-x0；x∈F＼｛x0｝］ 是線性無關(guān)的。

3?R^n中線性無關(guān)集最多含n個(gè)元素；R^n中幾何無關(guān)的集最多含n+1個(gè)元素；R^n中含基數(shù)為c的處于一般位置的集合。

4 設(shè)C=［c1, c2 ,…］是R^n中的可數(shù)集合，則對(duì)任意的ε>0，存在處于一般位置的集合D=［d1, d2?,…］?R^n? 使得對(duì)任意的k，|| ck-dk||<ε成立。

有限維線性空間上的拓?fù)涫聦?shí)上是由其線性運(yùn)算確定的，而無限維線性空間上的拓?fù)洳荒苡善渚€性運(yùn)算確定。這就解釋了為什么在以研究有限維空間為主的線性代數(shù)等課程中從來不提拓?fù)鋯栴}，而在以研究無限維線性空間為主的泛函分析等課程中拓?fù)浞浅Ｖ匾脑颉?/p>

雖然R^n上的拓?fù)涫俏ㄒ唬?，我們很容易在R^n上定義不同的范數(shù)使得其成為Banach空間；也可以在R^n上定義不同的內(nèi)積使得其成為Hilbert空間。

設(shè)V是線性空間，L是其有限維子空間，則L是V的閉子集。

設(shè)L是線性空間，則L局部緊的當(dāng)且僅當(dāng)L作為向量空間同構(gòu)于某R^n，這時(shí)這個(gè)同構(gòu)也是同胚。