原文鏈接：http://tecdat.cn/?p=24016

原文出處：拓端數(shù)據(jù)部落公眾號(hào)

摘要

最近我們被要求撰寫關(guān)于廣義矩量法GMM的研究報(bào)告，包括一些圖形和統(tǒng)計(jì)輸出。 面板向量自回歸（VAR）模型在應(yīng)用研究中的應(yīng)用越來越多。雖然專門用于估計(jì)時(shí)間序列VAR模型的程序通常作為標(biāo)準(zhǔn)功能包含在大多數(shù)統(tǒng)計(jì)軟件包中，但面板VAR模型的估計(jì)和推斷通常用通用程序?qū)崿F(xiàn)，需要一些編程技巧。在本文中，我們簡(jiǎn)要討論了廣義矩量法（GMM）框架下面板VAR模型的模型選擇、估計(jì)和推斷，并介紹了一套Stata程序來方便地執(zhí)行它們。

一、簡(jiǎn)介

時(shí)間序列向量自回歸 (VAR) 模型起源于宏觀計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)文獻(xiàn)，作為多元聯(lián)立方程模型的替代品 (Sims, 1980)。VAR 系統(tǒng)中的所有變量通常都被視為內(nèi)生變量，盡管可能會(huì)根據(jù)理論模型或統(tǒng)計(jì)程序來確定限制，以解決外生沖擊對(duì)系統(tǒng)的影響。隨著 VAR 在面板數(shù)據(jù)設(shè)置中的引入（Holtz-Eakin、Newey 和 Rosen，1988），面板 VAR 模型已在跨領(lǐng)域的多個(gè)應(yīng)用中使用。

在本文中，我們簡(jiǎn)要概述了廣義矩量法 (GMM) 框架中面板 VAR 模型的選擇、估計(jì)和推理，并提供了一組 Stata 程序，我們使用國家縱向調(diào)查和投資、收入和消費(fèi)數(shù)據(jù)。 包括實(shí)現(xiàn)Granger(1969)因果關(guān)系檢驗(yàn)的子程序，以及按照Andrews和Lu(2001)進(jìn)行的最佳時(shí)刻和模型選擇。

2.面板向量自回歸

我們考慮具有特定面板固定效應(yīng)的階數(shù) -變量面板 VAR，由以下線性方程組表示：

其中，

是因變量的（1）向量；

是外生協(xié)變量的（1）向量；

以及

分別是因變量特定的固定效應(yīng)和特異性誤差的（1）向量。

矩陣和

矩陣是要估計(jì)的參數(shù)。我們假設(shè)創(chuàng)新點(diǎn)具有以下特征。

上面的參數(shù)可以與固定效應(yīng)聯(lián)合估計(jì)，或者在一些轉(zhuǎn)換后獨(dú)立于固定效應(yīng)，使用普通最小二乘法 (OLS)。然而，由于方程組右側(cè)存在滯后因變量，即使是大的估計(jì)也會(huì)有偏差（尼克爾，1981）。盡管偏差隨著變大而趨近于零，但 Judson 和 Owen (1999) 的模擬發(fā)現(xiàn)即使在 = 30 時(shí)也存在顯著偏差。

2.1.GMM估計(jì)

已經(jīng)提出了基于 GMM 的各種估計(jì)器來計(jì)算上述方程的一致估計(jì)。4在我們假設(shè)誤差是連續(xù)不相關(guān)的情況下，一階差分變換可以通過用較早時(shí)期的差異和水平檢測(cè)滯后差異，如安德森和蕭 (1982) 所提出的那樣，逐個(gè)方程地一致估計(jì)。然而，這個(gè)估計(jì)會(huì)帶來一些問題。一階差分變換放大了不平衡面板中的間隙。例如，如果某些不可用，則時(shí)間和 ? 1 處的一階差分同樣缺失。此外，觀察每個(gè)面板的必要時(shí)間段隨著面板 VAR 的滯后順序而變大。例如，對(duì)于二階面板 VAR，

Arellano 和 Bover (1995) 提出前向正交偏差作為替代變換，它不具有一階差分變換的缺點(diǎn)。它不使用與過去實(shí)現(xiàn)的偏差，而是減去所有可用的未來觀察的平均值，從而最大限度地減少數(shù)據(jù)丟失?？赡苤挥凶罱挠^察不會(huì)用于估計(jì)。由于過去的實(shí)現(xiàn)不包括在這個(gè)轉(zhuǎn)換中，它們?nèi)匀皇怯行У墓ぞ?。例如，在二階面板 VAR 中，只有?

≥ 4 個(gè)實(shí)現(xiàn)才能在水平上使用工具。

雖然逐個(gè)方程的 GMM 估計(jì)會(huì)產(chǎn)生對(duì)面板 VAR 的一致估計(jì)，但將模型估計(jì)為方程組可能會(huì)導(dǎo)致效率增益（Holtz-Eakin、Newey 和 Rosen，1988 年）?？紤]以下基于等式 (1) 的變換面板 VAR 模型，但以更緊湊的形式表示：

??

其中星號(hào)表示原始變量的某種變換。如果我們把原始變量表示為

?，那么第一差分轉(zhuǎn)換意味著

，而對(duì)于正向正交偏差?

，其中是面板在時(shí)間上的可用未來觀測(cè)值的數(shù)量，是其平均值。

假設(shè)我們隨著時(shí)間的推移將觀察疊加在面板上。GMM 估計(jì)量由下式給出

其中是一個(gè) ( ) 加權(quán)矩陣，假定為非奇異、對(duì)稱和半正定。假設(shè)

和 rank

?，GMM 估計(jì)量是一致的?？梢赃x擇加權(quán)矩陣來最大化效率（Hansen，1982）。

方程組的聯(lián)合估計(jì)使交叉方程假設(shè)檢驗(yàn)變得簡(jiǎn)單明了?？梢曰?

的 GMM 估計(jì)及其協(xié)方差矩陣來實(shí)現(xiàn)關(guān)于參數(shù)的 Wald 檢驗(yàn)。格蘭杰因果檢驗(yàn)，假設(shè)變量 的方程中變量滯后的所有系數(shù)共同為零，同樣可以使用該檢驗(yàn)進(jìn)行。

2.2.模型選擇

面板 VAR 分析的前提是在面板 VAR 規(guī)范和矩條件中選擇最佳滯后階數(shù)。Andrews和Lu(2001)提出了基于Hansen(1982)統(tǒng)計(jì)學(xué)的過度識(shí)別限制的GMM模型的一致時(shí)刻和模型選擇標(biāo)準(zhǔn)（MMSC）。他們提出的 MMSC 類似于各種常用的基于最大似然的模型選擇標(biāo)準(zhǔn)，即 Akaike 信息標(biāo)準(zhǔn) (AIC) (Akaike, 1969)、貝葉斯信息標(biāo)準(zhǔn) (BIC) (Schwarz, 1978; Rissanen, 1978; Akaike, 1977 )，以及 Hannan-Quinn 信息標(biāo)準(zhǔn) (HQIC)（Hannan 和 Quinn，1979）。

將 Andrews 和 Lu 的 MMSC 應(yīng)用 GMM 估計(jì)，他們提出的標(biāo)準(zhǔn)選擇最小化的向量對(duì)

其中

是基于樣本大小為

?的因變量滯后的階次和矩條件的變量面板 VAR 的過度識(shí)別限制的統(tǒng)計(jì)量。

通過構(gòu)造，上述 MMSC 僅在

時(shí)可用。作為替代標(biāo)準(zhǔn)，即使使用剛剛識(shí)別的 GMM 模型，也可以計(jì)算整體確定系數(shù) (CD)。假設(shè)我們用?

表示因變量的?

無約束協(xié)方差矩陣。CD 為面板 VAR 模型解釋的變異比例，可以計(jì)算為

2.3.脈沖響應(yīng)

我們刪除外生變量，并專注于方程（1）中面板 VAR 的自回歸結(jié)構(gòu)。Lutkepohl (2005) 和 Hamilton (1994) 都表明，如果伴隨矩陣的所有模都嚴(yán)格小于 1，則 VAR 模型是穩(wěn)定的，其中伴隨矩陣由

穩(wěn)定性意味著面板 VAR 是可逆的，并且具有無限階向量移動(dòng)平均 (VMA) 表示，為估計(jì)的脈沖響應(yīng)函數(shù)和預(yù)測(cè)誤差方差分解提供已知的解釋?？梢酝ㄟ^將模型重寫為無限向量移動(dòng)平均來計(jì)算簡(jiǎn)單的脈沖響應(yīng)函數(shù)，其中

?是 VMA 參數(shù)。

然而，簡(jiǎn)單的 IRF 沒有因果解釋。由于創(chuàng)新是同時(shí)相關(guān)的，一個(gè)變量的沖擊很可能伴隨著其他變量的沖擊。假設(shè)我們有一個(gè)矩陣?

，使得

。然后可用于將創(chuàng)新點(diǎn)正交化，并將 VMA 參數(shù)轉(zhuǎn)換為正交化的脈沖響應(yīng)。矩陣有效地對(duì)動(dòng)態(tài)方程組施加了識(shí)別限制。Sims (1980) 提出了 的 Cholesky 分解以在 VAR 上強(qiáng)加遞歸結(jié)構(gòu)。然而，分解不是唯一的，而是取決于

?中變量的順序。

脈沖響應(yīng)函數(shù)置信區(qū)間可以基于面板 VAR 參數(shù)的漸近分布和交叉方程誤差方差-協(xié)方差矩陣分析導(dǎo)出?；蛘?，也可以使用蒙特卡羅模擬和自舉重采樣方法來估計(jì)置信區(qū)間。

2.4.預(yù)測(cè)誤差方差分解

?步提前預(yù)測(cè)誤差可以表示為

其中

?是在時(shí)間 + ? 處的觀察向量，

是在時(shí)間 ? 預(yù)測(cè)的提前 ? 步預(yù)測(cè)向量。與脈沖響應(yīng)函數(shù)類似，我們使用矩陣將沖擊正交化，以隔離每個(gè)變量對(duì)預(yù)測(cè)誤差方差的貢獻(xiàn)。正交化沖擊

有一個(gè)協(xié)方差矩陣?

，可以直接分解預(yù)測(cè)誤差方差。更具體地說，m變量對(duì)變量n的?步預(yù)測(cè)誤差方差的貢獻(xiàn)可以計(jì)算為

在應(yīng)用中，貢獻(xiàn)通常相對(duì)于變量的?步超前預(yù)測(cè)誤差方差進(jìn)行歸一化。

與脈沖響應(yīng)函數(shù)類似，置信區(qū)間可以通過分析得出或使用各種重采樣技術(shù)進(jìn)行估計(jì)

4. 例子

我們通過分析年工作時(shí)間和小時(shí)收入之間的關(guān)系來說明 pvar使用，Holtz-Eakin、Newey 和 Rosen（1988）之前在他們關(guān)于面板向量自回歸的開創(chuàng)性論文中對(duì)此進(jìn)行了分析。為了將我們的新程序與 Stata 的內(nèi)置 var 命令套件進(jìn)行比較，我們還將新的 pvar 應(yīng)用于投資、收入和消費(fèi)數(shù)據(jù)時(shí)間序列數(shù)據(jù)。

我們通過分析年工作時(shí)間和小時(shí)收入之間的關(guān)系來說明pvar使用，Holtz-Eakin、Newey和Rosen（1988）曾在他們關(guān)于面板向量自回歸的開創(chuàng)性論文中分析過這種關(guān)系。我們還將pvar應(yīng)用于Lutkephol（1993）的時(shí)間序列數(shù)據(jù)。

4.1.全國縱向調(diào)查數(shù)據(jù)

我們使用來自 1968 年至 1978 年國家縱向調(diào)查的 1968 年 14-26 歲女性子樣本。我們的子樣本由 2,039 名女性組成，她們?cè)谥辽偃喺{(diào)查中報(bào)告了工資（wage）和年工作時(shí)數(shù)（hours），其中兩輪是連續(xù)年份。使用相同的調(diào)查，但具有不同的時(shí)間段和不同的工人子樣本，因此結(jié)果可能不具有直接可比性。

下面是使用模型選擇，用于以工時(shí)和工資的前四個(gè)滯后期為工具的一到三階面板VARs。

.ua3 vs(ns(1/4)).gen wge = exp(nwage).erk

基于 Andrews 和 Lu (2001) 的三個(gè)模型選擇標(biāo)準(zhǔn)和整體決定系數(shù)，一階面板 VAR 是首選模型，因?yàn)樗哂凶钚〉?MBIC、MAIC 和 MQIC。雖然我們也想最小化 Hansen 的 J 統(tǒng)計(jì)量，但它并沒有像 Andrews 和 Lu 的模型和矩選擇標(biāo)準(zhǔn)那樣修正模型中的自由度?；谶x擇標(biāo)準(zhǔn)，我們使用由 pvar 實(shí)現(xiàn)的 GMM 估計(jì)擬合具有與上述相同的一階面板 VAR 模型。

面板向量自回歸. wg rs, in(1/4)

請(qǐng)注意，估計(jì)中包括的506名婦女明顯少于數(shù)據(jù)中的全部婦女子樣本。默認(rèn)情況下，pvar會(huì)從估計(jì)中刪除任何缺失數(shù)據(jù)的觀察。由于子樣本中的所有婦女的工作時(shí)間和工資并不是在所有年份都被觀察到的，所以被剔除的觀察值的數(shù)量會(huì)隨著作為工具變量的滯后階數(shù)而增加。我們可以通過使用Holtz-Eakin等人提出的 "GMM式 "工具來改善估計(jì)。這增加了估計(jì)樣本，從而使估計(jì)更加有效。

面板向量自回歸.s tl(1/4) gmm

盡管可以從上面的 var 輸出推斷出一階面板 VAR 的格蘭杰因果關(guān)系，但我們?nèi)匀皇褂?granger 作為說明進(jìn)行檢驗(yàn)。下面格蘭杰因果檢驗(yàn)的結(jié)果表明，在通常的置信水平下，工資格蘭杰導(dǎo)致工時(shí)和工時(shí)格蘭杰導(dǎo)致工資，這與 Holtz-Eakin 等人的發(fā)現(xiàn)相似。

. granger

面板向量自回歸模型估計(jì)很少由其自身解釋。在實(shí)踐中，研究人員通常對(duì)面板 VAR 系統(tǒng)中每個(gè)內(nèi)生變量的外生變化對(duì)其他變量的影響感興趣。然而，在估計(jì)脈沖響應(yīng)函數(shù) (IRF) 和預(yù)測(cè)誤差方差分解 (FEVD) 之前，我們首先檢查估計(jì)面板 VAR 的穩(wěn)定性條件。生成的特征值表和圖證實(shí)了估計(jì)是穩(wěn)定的。

.table, rph

我們認(rèn)為工資水平的沖擊對(duì)同期的工作時(shí)間有直接影響，而當(dāng)前的工作努力只影響未來的工資。使用這種因果順序，我們使用 fevd 計(jì)算了隱含的 IRF，使用 fevd 計(jì)算了隱含的 FEVD。IRF 置信區(qū)間是根據(jù)估計(jì)模型使用 200 次蒙特卡羅繪制計(jì)算的。FEVD 估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤差和置信區(qū)間同樣可用。

.. pirf, c20) irf op

根據(jù)FEVD的估計(jì)，我們看到，在我們的例子中，多達(dá)40%的婦女工作時(shí)間的變化可以由她們的工資來解釋。另一方面，工作時(shí)間只解釋了婦女未來工資變化的5%。就水平而言，IRF圖顯示，實(shí)際工資的正沖擊導(dǎo)致工作努力的減少，這意味著樣本中婦女的勞動(dòng)供給向后彎曲。同樣值得注意的是，當(dāng)前工作強(qiáng)度的沖擊對(duì)工作時(shí)間和工資都有積極但短暫的影響。另一方面，當(dāng)前沖擊對(duì)工資的影響對(duì)未來工資有持續(xù)的積極影響。

4.2.投資、收入和消費(fèi)數(shù)據(jù)

我們使用投資、收入和消費(fèi)數(shù)據(jù)時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。該數(shù)據(jù)包含從 1962 年第二季度到 1982 年第四季度的投資、收入和消費(fèi) 自然對(duì)數(shù)的一階差分。 僅使用截至第四季度的觀測(cè)值1978 年在他的例子中，但我們?cè)谶@里的說明中使用了完整的樣本。我們將時(shí)間序列數(shù)據(jù)設(shè)置為單面板數(shù)據(jù)，以便 pvar 發(fā)揮作用。

delta: 1 qttime vaabl qr, 1960q1 to 1982q4panel aiale: id . xet d tr. gen id = 1. wue utph2

為簡(jiǎn)單起見，我們使用內(nèi)置的var（在下面的輸出中表示為 var1）和新的 pvar 來比較 VAR(1) 估計(jì)值。VAR/面板 VAR 點(diǎn)估計(jì)總結(jié)為下表。根據(jù)計(jì)算的點(diǎn)估計(jì)和標(biāo)準(zhǔn)誤差，請(qǐng)注意每個(gè)系數(shù)的 95% 置信區(qū)間，即點(diǎn)估計(jì)兩側(cè)的大約兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)誤差，在估計(jì)量之間重疊。此外，由于前向正交變換，pvar 使用的觀察值比 var 少一個(gè)。

. est table v1_pvr5, st(Nmntmx) drop(_cons). est tor pr1. est store ar1_. qui al_ l_ic dnm, gs(1). est sor vr1

Cholesky 脈沖響應(yīng)函數(shù)和預(yù)測(cè)誤差方差分解同樣可以使用新的 Stata 命令 pvarirf 和 pvarfevd 進(jìn)行估計(jì)。與 VAR/面板 VAR 點(diǎn)估計(jì)類似，95% 置信區(qū)間三個(gè)估計(jì)量的 Cholesky IRF 和 FEVD 重疊。下面，我們使用三個(gè)模型展示了 inv 對(duì)inv 上一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差沖擊的響應(yīng)。

?

5. 參考

Akaike, H. (1969)。擬合自回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)研究所年鑒，21, 243-247。

最受歡迎的見解

1.在python中使用lstm和pytorch進(jìn)行時(shí)間序列預(yù)測(cè)

2.python中利用長短期記憶模型lstm進(jìn)行時(shí)間序列預(yù)測(cè)分析

3.使用r語言進(jìn)行時(shí)間序列（arima，指數(shù)平滑）分析

4.r語言多元copula-garch-模型時(shí)間序列預(yù)測(cè)

5.r語言copulas和金融時(shí)間序列案例

6.使用r語言隨機(jī)波動(dòng)模型sv處理時(shí)間序列中的隨機(jī)波動(dòng)

7.r語言時(shí)間序列tar閾值自回歸模型

8.r語言k-shape時(shí)間序列聚類方法對(duì)股票價(jià)格時(shí)間序列聚類

9.python3用arima模型進(jìn)行時(shí)間序列預(yù)測(cè)