Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, "Do you want to pick door No. 2?" Is it to your advantage to switch your choice?

上述內(nèi)容摘自維基百科，大意為 假設(shè)你在參加一個游戲，該游戲有三扇門

• 其中一扇門后面為汽車，另外兩扇門后面都是羊

• 勝利的條件為選中有汽車的門

• 當(dāng)你進行了選擇時，預(yù)先知道后面有什么的主持人會打開一個錯誤的門，而后問你“是否選擇更換的門”

基于以上三個前提條件，延伸出來一個問題，玩家是否應(yīng)該需要進行“換門”操作。

理論支持

考慮到當(dāng)隨意調(diào)換羊和門的位置時，概率不會發(fā)生變化，所以默認一號門和二號門都是羊，而三號門是車

可以看到， 沒有交換門贏的總概率是 1/3?, 交換門贏的總概率是2/3

貝葉斯公式

首先，貝葉斯公式的重點是，兩者并不是獨立事件，這里引用一下上面的圖。當(dāng)主持人操作打開門為前提條件下的概率公式

由來表示事件Event，i的序號標(biāo)明車在哪個門后面

由來表示玩家Play，j的序號標(biāo)明玩家選擇了幾號門

由來表示主持人Host, k的序號表明了主持人選擇打開幾號門

基于上述內(nèi)容，可以簡單得出一些常數(shù)

車在1，選擇1，主持人打開3的概率是1/2

車在2，選擇1，主持人打開3的概率是1(由于主持人一定會打開不是車的門，所以概率為1）

車在3，選擇1，主持人打開3的概率是0(由于主持人一定會打開不是車的門，所以概率為0）

每一個Event發(fā)生的概率都為1/3

事件E和玩家的選擇X互相獨立，因此當(dāng)“車在i門且玩家選擇了j門”的概率為“車在i門”和“玩家選擇j門”的概率乘積

這個表達式說明，當(dāng)主持人開啟3號門后，玩家會選擇每扇門的概率都為1/2，由于不依賴事件E，自然只剩下兩個門可以選擇了。 特別的表明，由于主持人總是會打開錯誤的門，所以在“主持人打開3號門下” 條件成立時 “玩家打開3號門” 的概率為 0

考慮其中一種情況，當(dāng)汽車在2號門后時，主持人打開了3號門且玩家打開了1號門的概率為

蒙特卡洛模擬

如果覺得概率論和圖標(biāo)風(fēng)格反常識，反直覺，或者和事實不符，那我們使用最暴力的方式，用大量的頻率來模擬概率。

模擬十次

1.

在不更換選擇的情況下，獲勝次數(shù)為 333176 ，獲勝概率為 33.32%

在更換選擇的情況下，獲勝次數(shù)為 666824 ，獲勝概率為 66.68%

2.

在不更換選擇的情況下，獲勝次數(shù)為 333313 ，獲勝概率為 33.33%

在更換選擇的情況下，獲勝次數(shù)為 666687 ，獲勝概率為 66.67%

3.

在不更換選擇的情況下，獲勝次數(shù)為 333672 ，獲勝概率為 33.37%

在更換選擇的情況下，獲勝次數(shù)為 666328 ，獲勝概率為 66.63%

4.

在不更換選擇的情況下，獲勝次數(shù)為 333464 ，獲勝概率為 33.35%

在更換選擇的情況下，獲勝次數(shù)為 666536 ，獲勝概率為 66.65%

5.

在不更換選擇的情況下，獲勝次數(shù)為 333311 ，獲勝概率為 33.33%

在更換選擇的情況下，獲勝次數(shù)為 666689 ，獲勝概率為 66.67%

6.

在不更換選擇的情況下，獲勝次數(shù)為 333325 ，獲勝概率為 33.33%

在更換選擇的情況下，獲勝次數(shù)為 666675 ，獲勝概率為 66.67%

7.

在不更換選擇的情況下，獲勝次數(shù)為 333207 ，獲勝概率為 33.32%

在更換選擇的情況下，獲勝次數(shù)為 666793 ，獲勝概率為 66.68%

8.

在不更換選擇的情況下，獲勝次數(shù)為 333942 ，獲勝概率為 33.39%

在更換選擇的情況下，獲勝次數(shù)為 666058 ，獲勝概率為 66.61%

9.

在不更換選擇的情況下，獲勝次數(shù)為 333874 ，獲勝概率為 33.39%

在更換選擇的情況下，獲勝次數(shù)為 666126 ，獲勝概率為 66.61%

10.

在不更換選擇的情況下，獲勝次數(shù)為 333337 ，獲勝概率為 33.33%

在更換選擇的情況下，獲勝次數(shù)為 666663 ，獲勝概率為 66.67%

總結(jié)

無論用什么方法，都能得出換門的總概率2/3是大于不換的概率1/3的