當(dāng)看似很簡(jiǎn)單的「數(shù)量關(guān)系」題干帶有隱藏條件且需要做開(kāi)方運(yùn)算時(shí)，難度也會(huì)急劇升高，例如：

【2023聯(lián)考】某品牌圓形掃地機(jī)器人升級(jí)設(shè)計(jì)方案，是在原有掃地機(jī)器人的前端伸出8cm可轉(zhuǎn)動(dòng)的邊刷進(jìn)行清掃（如下圖所示），目的是將無(wú)法觸及的邊邊角角都徹底清掃干凈。

為保證這一效果，該型號(hào)掃地機(jī)器人圓形機(jī)身的最大直徑是（答案取整數(shù)位）：
（A）30
（B）36
（C）38
（D）40

為保證這一效果，該型號(hào)掃地機(jī)器人圓形機(jī)身的最大直徑是（答案取整數(shù)位）：
（A）30
（B）36
（C）38
（D）40

正確率45%，易錯(cuò)項(xiàng)B

這是一道「思路困難、但找準(zhǔn)思路后計(jì)算極為簡(jiǎn)單」的典型難題。

題干條件非常簡(jiǎn)潔：

一個(gè)圓（掃地機(jī)器人）
一個(gè)正方形的角（房間的角落）
一條8cm的直線（毛刷的長(zhǎng)度）

分析后不難發(fā)現(xiàn)，「圓貼著正方形角（掃地機(jī)器人頂在角落）」時(shí)符合要求。

解題關(guān)鍵是「8cm的直線」，根據(jù)「正方形內(nèi)切圓」的特點(diǎn)，可知當(dāng)圓的半徑和墻邊45°夾角時(shí)符合要求，即：

這里有一個(gè)小技巧。理論上本題可以列方程計(jì)算，即：

r2+r2=（r+8）2

但這種方法計(jì)算量較大，不太推薦。

這里可直接賦值掃地機(jī)器人的半徑r=1，則：

半徑+毛刷總長(zhǎng)度=等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)度，即=√2≈1.41，毛刷≈1.41=1=0.41

r=1，毛刷=0.41
→r=20，毛刷=8.2＞2，剛好不符合要求

因此r最大=19，直徑d=38，C「38」正確。

本題有2個(gè)難點(diǎn)：

一是「毛刷長(zhǎng)度」意味著什么

題目中其實(shí)隱藏了一個(gè)條件，那就是「毛刷既柔軟，又有彈性」。這意味著毛刷可以在到達(dá)墻角之前先和墻有一定的接觸、彎曲，然后再恢復(fù)原狀到達(dá)墻角。

當(dāng)前市面上100%的掃地機(jī)器人都使用這種結(jié)構(gòu)，出題人默認(rèn)了「考生了解相關(guān)情況」。在此基礎(chǔ)上，考生需要分析出「毛刷和墻夾角45°符合要求」，才能進(jìn)一步計(jì)算。

二是賦值「√2-1」的快速計(jì)算

本題中直接列方程的計(jì)算量較大，且涉及開(kāi)方，并不簡(jiǎn)單。

在直接賦值r=1后，可立即算出毛刷比0.4略大（≈1.41-1），再等比例換算0.4×20和1×20，即可快速鎖定r略小于20，即d=38符合要求。