【后日談】2023浙江大學(xué)強基數(shù)學(xué)逐題解析·補充

2023-07-06 21:52 作者:CHN_ZCY 0人讀過 | 我要投稿

封面：《轉(zhuǎn)生王女和天才千金的魔法革命》

2023浙江大學(xué)強基數(shù)學(xué)逐題解析各期如下：

因篇幅限制，此前的一些題目的思維過程較為簡略.

本文對這些題目進(jìn)行補充.

第2期

【題3】

本題對集合中元素的狀態(tài)進(jìn)行分析即可，最后變?yōu)閿?shù)論問題.

除了文章中給出的版本，該題網(wǎng)絡(luò)流傳的上還有另一版本，如下：? $A%20%5Ccup%20B%20%5Ccup%20C%3D%5Cleft%5C%7B1%2C2%2C%5Ccdots%2C20230612%5Cright%5C%7D$ ， $A%20%5Ccap%20%20B%20%5Ccap%20C%3D%5Cvarnothing$ ，設(shè)滿足條件的有序集合組 $%5Cleft(A%2CB%2CC%5Cright)$ 的個數(shù)為 $n$ ，則十進(jìn)制下 $n$ 的最后2位數(shù)為___________.?

答案? 36

解析??

$n%3D6%5E%7B20230612%7D$

由于

$6%5E7%5Cequiv6%5E2%5Cequiv36%5Cpmod%7B100%7D$

所以對任意 $k%5Cgeq2%2Ck%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D$

$6%5E%7Bk%2B5%7D%5Cequiv6%5E%7Bk%7D%5Cpmod%7B100%7D$

因此

$n%3D6%5E%7B20230612%7D%5Cequiv6%5E2%5Cequiv36%5Cpmod%7B100%7D$

所以十進(jìn)制下 $n$ 的最后2位數(shù)為36.

原文中的題目也可利用周期性解答.

在原文中的題目中，

$n%3D6%5E%7B2023%7D$

從而

$n%3D6%5E%7B2023%7D%5Cequiv6%5E3%5Cequiv16%5Cpmod%7B100%7D$

所以十進(jìn)制下 $n$ 的最后2位數(shù)為16.

這和利用中國剩余定理得到的結(jié)論是一樣的.

第5期

【題12】

本題具有明顯的分析學(xué)背景.

對于選項A，我們可寫出映射 $f$ 的嚴(yán)格形式.

記 $r_n$ （未化簡）的分子與分母之和為 $k_n%5Cleft(k_n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%5Cright)$ ，則

$%5Cfrac%7B%5Cleft(k_n-1%5Cright)%5Cleft(k_n-2%5Cright)%7D%7B2%7D%2B1%5Cleq%20n%20%5Cleq%20%5Cfrac%7Bk_n%5Cleft(k_n-1%5Cright)%7D%7B2%7D%5Cleft(n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%5Cright)$

得

$%5Cfrac%7B1%2B%5Csqrt%7B8n%2B1%7D%7D%7B2%7D%5Cleq%20k_n%20%5Cleq%20%5Cfrac%7B3%2B%5Csqrt%7B8n-7%7D%7D%7B2%7D%5Cleft(n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%5Cright)$

由于對任意 $n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*$ ，

$%5Cfrac%7B3%2B%5Csqrt%7B8n-7%7D%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7B1%2B%5Csqrt%7B8n%2B1%7D%7D%7B2%7D%3D1-%5Cfrac%7B4%7D%7B%5Csqrt%7B8n%2B1%7D%2B%5Csqrt%7B8n-7%7D%7D%5Cin%5Cleft%5B0%2C1%5Cright)$

并且 $k_n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*$ ，因此

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0Ak_n%26%3D%5Clfloor%20%5Cfrac%7B3%2B%5Csqrt%7B8n-7%7D%7D%7B2%7D%20%5Crfloor%5C%5C%26%3D%5Clfloor%20%5Cfrac%7B1%2B%5Csqrt%7B8n-7%7D%7D%7B2%7D%20%5Crfloor%2B1%5Cleft(n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%5Cright)%0A%5Cend%7Baligned%7D$

所以

$r_n%3D%5Cfrac%7B-n%2B1%2B%5Cfrac%7Bk_n%5Cleft(k_n-1%5Cright)%7D%7B2%7D%7D%7Bn-%5Cfrac%7B%5Cleft(k_n-1%5Cright)%5Cleft(k_n-2%5Cright)%7D%7B2%7D%7D%5Cleft(n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%5Cright)$

$a_n%3D%5Cbegin%7Bcases%7D%0A1%2Cn%3D1%5C%5C%0A%5Cmin%5Cleft%5C%7Bx%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%5Cvert%20x%3Ea_%7Bn-1%7D%E4%B8%94%5Cleft(-n%2B1%2B%5Cfrac%7Bk_n%5Cleft(k_n-1%5Cright)%7D%7B2%7D%2Cn-%5Cfrac%7B%5Cleft(k_n-1%5Cright)%5Cleft(k_n-2%5Cright)%7D%7B2%7D%5Cright)%3D1%5Cright%5C%7D%0A%5Cend%7Bcases%7D$

$f%3A%5Cmathbb%7BN%7D%20%5Crightarrow%20%5Cmathbb%7BQ%7D$ 滿足

$f%5Cleft(n%5Cright)%3D%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%0A0%2Cn%3D0%5C%5C%0A%0A-a_%7Br_%7B%5Cfrac%7Bn%2B1%7D%7B2%7D%7D%7D%2Cn%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E5%A5%87%E6%95%B0%5C%5C%0A%0Aa_%7Br_%7B%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%7D%7D%7D%2Cn%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E5%81%B6%E6%95%B0%0A%0A%5Cend%7Bcases%7D$

展開后即得映射 $f$ 的解析式.

對于選項B，采用的是反證法.

我們假設(shè) $%5Cmathbb%7BR%7D$ 與 $%5Cmathbb%7BN%7D$ 間存在雙射，然后構(gòu)造一個遞推的過程.

這個遞推的過程有各種可能，無論是何種情況，其可行性都由引理1和引理2保證，且必將得到后續(xù)的結(jié)論，從而推出矛盾，說明假設(shè)是不成立的，因此 $%5Cmathbb%7BR%7D$ 與 $%5Cmathbb%7BN%7D$ 間不存在雙射.

在此，我們可以思考一個問題.

思考? 如果將該論證過程的 $%5Cmathbb%7BR%7D$ 換為 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ ，會發(fā)生什么？

將 $%5Cmathbb%7BR%7D$ 換為 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ ，有一個地方會發(fā)生變化：我們無法說明 $s$ 為有理數(shù).

（從結(jié)果來看，我們可以知道 $s$ 一定是無理數(shù)，否則就會得到 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ 與 $%5Cmathbb%7BN%7D$ 間不存在雙射的錯誤結(jié)論）

這正是有理數(shù)域與實數(shù)域的不同之處之一.

實數(shù)序列的極限必然是實數(shù)，但有理數(shù)序列的極限不一定是有理數(shù).

就算在 $%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%20a_n%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%20b_n$ 的條件下，我們也無法說明 $s$ 為有理數(shù).

例如下面2個序列

$a_n%3D%5Cfrac%7B%5Clfloor%5Csqrt%7B2%7D%5Ccdot10%5E%7Bn%7D%5Crfloor%7D%7B10%5E%7Bn%7D%7D%5Cleft(n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5Cright)$ ?

$b_n%3D%5Cfrac%7B%5Clceil%5Csqrt%7B2%7D%5Ccdot10%5E%7Bn%7D%5Crceil%7D%7B10%5E%7Bn%7D%7D%5Cleft(n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5Cright)$

為使表述更形象，我們寫出它們的幾項（ $n$ 從0開始）：

$a_n%3A%201%2C1.4%2C1.414%2C1%2C4142%2C%5Ccdots$ ?

$b_n%3A%202%2C1.5%2C1.415%2C1%2C4143%2C%5Ccdots$ ?

這2個序列都是有理數(shù)序列，但它們的極限 $%5Csqrt%7B2%7D$ 為無理數(shù).

實際上，對于任意無理數(shù)，都存在某有理數(shù)序列的極限是該無理數(shù)，因此由有理數(shù)組成的柯西序列常用于定義無理數(shù).

收斂的實數(shù)序列的極限一定是實數(shù)，即實數(shù)域是完備的.

Remark.?本題解析在最初為表述簡潔采用了“等勢”的概念，后為方便讀者理解，改回了“存在雙射”的表述. 兩個集合等勢的充分必要條件是這兩個集合間存在雙射.

【題13】

對于復(fù)數(shù)

$z_1%3Da_1%2Bb_1%5Cmathrm%7Bi%7D$

$z_2%3Da_2%2Bb_2%5Cmathrm%7Bi%7D$

$z_1%3Dz_2$ 的充分必要條件是

$a_1%3Da_2%E4%B8%94b_1%3Db_2$

對于復(fù)數(shù)

$z_1%3Dr_1%5Cleft(%5Ccos%5Ctheta_1%2B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Csin%5Ctheta_1%5Cright)$

$z_2%3Dr_2%5Cleft(%5Ccos%5Ctheta_2%2B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Csin%5Ctheta_2%5Cright)$

$z_1%3Dz_2$ 的充分必要條件是

$r_1%5Ccos%5Ctheta_1%3Dr_2%5Ccos%5Ctheta_2%E4%B8%94r_1%5Csin%5Ctheta_1%3Dr_2%5Csin%5Ctheta_2$

即

$%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ar_1%3Dr_2%5C%5C%0A%5Ctheta_1%3D%5Ctheta_2%2B2k%5Cpi%5Cleft(k%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cright)%0A%5Cend%7Bcases%7D%0A%E6%88%96%0A%5Cbegin%7Bcases%7D%0A-r_1%3Dr_2%5C%5C%0A%5Ctheta_1%2B%5Cpi%3D%5Ctheta_2%2B2k%5Cpi%5Cleft(k%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cright)%0A%5Cend%7Bcases%7D$

（也有其它的等價形式）

本題難度不高，注意不要漏解即可.

第6期

【題17】

我們對本題中階的結(jié)論進(jìn)行證明.

記 $%5Cdelta_%7Bp%7D%5Cleft(n%5Cright)%5Cleft(n%2Cp%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%5Cright)$ 為使得

$n%5E%7Bk%7D%20%5Cequiv%201%20%5Cpmod%20%7Bp%7D$

成立的最小正整數(shù) $k$ .

$%5Cdelta_%7Bp%7D%5Cleft(n%5Cright)$ 稱為 $n$ 模 $p$ 的階.

給出幾個定理：

定理1? 若 $n%2Cp%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*$ ， $%5Cdelta_%7Bp%7D%5Cleft(n%5Cright)$ 存在，則對任意

$1%5Cleq%20i%5Cleq%20%5Cdelta_p%5Cleft(n%5Cright)%E4%B8%94i%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*$

$1%5Cleq%20j%5Cleq%20%5Cdelta_p%5Cleft(n%5Cright)%E4%B8%94j%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*$

$i%5Cneq%20j$

$n%5Ei$ 與 $n%5Ej$ 在模 $p$ 下不同余.

證明? 假設(shè)存在

$1%5Cleq%20i%5Cleq%20%5Cdelta_p%5Cleft(n%5Cright)%E4%B8%94i%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*$

$1%5Cleq%20j%5Cleq%20%5Cdelta_p%5Cleft(n%5Cright)%E4%B8%94j%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*$

$i%5Cneq%20j$

使得 $n%5Ei$ 與 $n%5Ej$ 在模 $p$ 下同余.

則

$n%5E%7B%5Cleft%7Ci-j%5Cright%7C%7D%5Cequiv1%5Cpmod%20p$

而 $0%3C%5Cleft%7Ci-j%5Cright%7C%5Cleq%5Cdelta_p%5Cleft(n%5Cright)-1%3C%5Cdelta_p%5Cleft(n%5Cright)$ ，這與階的定義矛盾.

所以假設(shè)不成立，定理得證.

定理2??若 $n%2Cp%2Cm%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*$ ， $%5Cdelta_%7Bp%7D%5Cleft(n%5Cright)$ 存在， $%5Cdelta_%7Bp%7D%5Cleft(n%5Cright)%20%5Cmid%20m$ ，則

$n%5E%7Bm%7D%20%5Cequiv%201%20%5Cpmod%20%7Bp%7D$

證明?

? $n%5E%7Bm%7D%20%3D%20%5Cleft(n%5E%7B%5Cdelta_p%5Cleft(n%5Cright)%7D%5Cright)%5E%5Cfrac%7Bm%7D%7B%5Cdelta_p%5Cleft(n%5Cright)%7D%5Cequiv1%20%5Cpmod%20%7Bp%7D$

定理得證.

定理3? 若 $n%2Cp%2Cm%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*$ ， $n%5E%7Bm%7D%20%5Cequiv%201%20%5Cpmod%20%7Bp%7D$ ，則

$%5Cdelta_%7Bp%7D%5Cleft(n%5Cright)%20%5Cmid%20m$

證明??由于

$n%5E%7Bm%7D%20%5Cequiv%201%20%5Cpmod%20%7Bp%7D$

所以 $%5Cdelta_%7Bp%7D%5Cleft(n%5Cright)$ 存在.

設(shè)

$m%3Dt%5Cdelta_%7Bp%7D%5Cleft(n%5Cright)%2Br%5Cleft(t%2Cr%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%2C0%5Cleq%20r%3C%20%5Cdelta_%7Bp%7D%5Cleft(n%5Cright)%2Cm%3E0%5Cright)$

于是

$n%5Em%3Dn%5E%7Bt%5Cdelta_p%5Cleft(n%5Cright)%2Br%7D%5Cequiv%20n%5Er$

所以

$n%5Er%5Cequiv%20n%5Em%20%5Cequiv%201%5Cpmod%7Bp%7D$

由定理1得

$r%3D0$

所以

$%5Cdelta_%7Bp%7D%5Cleft(n%5Cright)%20%5Cmid%20m$

定理得證.

第8期

【題23】

本題中，如果設(shè) $b_m$ 為符合性質(zhì) $A$ 的格點正六邊形的數(shù)量，則

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0Ab_m%26%3D%20%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Em%20%5Cleft%5B3k%5E2-%5Cleft(6m%2B3%5Cright)k%2B3m%5E2%2B3m%2B1%5Cright%5D%5C%5C%26%0A%3D3%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bm%5Cleft(m%2B1%5Cright)%5Cleft(2m%2B1%5Cright)%7D%7B6%7D-%5Cleft(6m%2B3%5Cright)%5Ccdot%5Cfrac%7Bm%5Cleft(m%2B1%5Cright)%7D%7B2%7D%2B%5Cleft(3m%5E2%2B3m%2B1%5Cright)m%5C%5C%26%0A%3Dm%5E3%0A%5Cend%7Baligned%7D$