整理史濟(jì)懷老師視頻課中關(guān)于常微分方程的內(nèi)容，然后繼續(xù)“效用論”。

part 1 史濟(jì)懷老師視頻課微分方程部分

上次聊了常微分方程的基本概念，后面的思路和一般常微分教材或者高等數(shù)學(xué)的思路大同小異，先聊幾種相對(duì)簡單的微分方程類型，我們之前大多都接觸過，不過例題多一些，我們可以當(dāng)做復(fù)習(xí)。新的內(nèi)容會(huì)作標(biāo)記。

&2.一階微分方程

一階微分方程——形如F（x，y，y'）=0的關(guān)系式——y為未知函數(shù)，x為自變量，含有y的一階導(dǎo)數(shù)的方程。

&2.1分離變量的方程

分離變量的方程——形如dy/dx=f（x）=φ（x）/ψ（y）關(guān)系式。

方法——

1. 移項(xiàng)：φ（x）dx=ψ（y）dy；

2. 積分：∫φ（x）dx=∫ψ（y）dy。

例1：求微分方程（x^2）ydy+（1-y^2）^（1/2）dx=0 。

解——

1. 移項(xiàng)：（x^2）ydy=-（1-y^2）^（1/2）dx；

2. 將x和y放到一邊：-ydy/（1-y^2）^（1/2）=dx/（x^2）；

3. 積分：∫-ydy/（1-y^2）^（1/2）=∫dx/（x^2）；

4. 由求積分技巧解出兩邊的原函數(shù)：（1-y^2）^（1/2）=-1/x+c，c為任意常數(shù)。

5. 所以我們得出隱函數(shù)1/x+（1-y^2）^（1/2）=c是一個(gè)解，函數(shù)的定義域?yàn)閤不為0，y的取值范圍為[-1,1]；

6. 另外我們注意到，x=0，y=1或-1也是一個(gè)解。

例2：求向徑與切線垂直的曲線方程。

向徑——曲線上一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線。

解——

1. 列出曲線的參數(shù)方程，x=x（t），y=y（t）；

2. 由解析幾何知識(shí)，向徑的向量即為（x，y），曲線的切向量為（x'，y'）；

3. 由解析幾何知識(shí)列出微分方程，xx'+yy'=0，即x（dx/dt）+y（dy/dt）=0，得到xdx+ydy=0；

4. 移項(xiàng)：xdx=-ydy；

5. 積分：∫xdx=∫-ydy；

6. 解得原函數(shù)為x^2/2=-y^2/2+c，即所求方程為x^2/2+y^2/2=c。

part 2?經(jīng)濟(jì)學(xué)概念——高鴻業(yè)

高鴻業(yè)《西方經(jīng)濟(jì)學(xué)》第三章：效用論——

第一節(jié)引入效用的概念——

效用——效用是指對(duì)商品滿足人的欲望的能力評(píng)價(jià)，或者說，效用是指消費(fèi)者在消費(fèi)商品時(shí)，所感受到的滿意程度?！环N主觀心理評(píng)價(jià)。

效用的度量——

1. 基數(shù)效用論：邊際效用分析方法——“效用單位”：表示效用大小的計(jì)量單位。

2. 序數(shù)效用論：無差異曲線分析方法——效用不可以具體度量，只能排序。

消費(fèi)者剩余——消費(fèi)者剩余是消費(fèi)者在購買一定數(shù)量的某種商品時(shí)愿意支付的最高總價(jià)格和實(shí)際支付的總價(jià)格之間的差額。

1.單個(gè)消費(fèi)者剩余

反需求函數(shù)——P^d=f（Q）表示消費(fèi)者對(duì)每一單位商品所愿意支付的最高價(jià)格。

P0——商品的市場價(jià)格。

Q0——消費(fèi)者的購買量。

f（Q）從0到Q0關(guān)于Q的定積分——消費(fèi)者為購買Q0數(shù)量的商品所愿意支付的最高總金額（即總價(jià)格）。

P0Q0——實(shí)際支付的總價(jià)格。

上述兩者的差額即為消費(fèi)者剩余。

數(shù)量關(guān)系——CS的值：f（Q）從0到Q0關(guān)于Q的定積分與P0Q0的差值——其中CS表示消費(fèi)者剩余。

2.整個(gè)市場的消費(fèi)者剩余——市場的消費(fèi)者剩余可以用市場需求曲線以下、市場價(jià)格線以上的面積來表示。

意義——消費(fèi)者剩余是消費(fèi)者的主觀心理評(píng)價(jià)，反映消費(fèi)者通過購買和消費(fèi)商品所感受到的狀態(tài)的改善，因此，消費(fèi)者剩余通常被用來度量和分析社會(huì)福利問題。

消費(fèi)者剩余的變化：由圖像——

1. 市場價(jià)格上升；

2. 需求量減少；

3. 三角形面積減小；

4. 價(jià)格上升使得消費(fèi)者剩余減少了。

明天開始聊重要的“無差異曲線”，打算找課本的電子書了，不截圖講得太模糊了。