第一章 數(shù)的幼年期

1.3 一一對(duì)應(yīng)

????????英國(guó)的數(shù)理哲學(xué)家巴特蘭多 ?拉賽爾說(shuō)：“要覺察到兩天的 ‘2’ 和兩只矮雞的‘2’是同樣的‘2’，需要有無(wú)限長(zhǎng)的歲月。”?

????????確實(shí)像拉賽爾說(shuō)的那樣，‘2’這個(gè)數(shù)對(duì)于兩個(gè)雞蛋、兩條狗、兩個(gè)人、兩只鳥、兩本書都是共同的，所以即使把兩個(gè)雞蛋換成兩棵樹，？還是有沒有變化。

????????像這樣把一個(gè)一個(gè)的雞蛋和一棵一棵的樹聯(lián)系起來(lái)就叫做一一對(duì)應(yīng)，但即使一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，2還是不變的。

????????我們利用一一對(duì)應(yīng)而數(shù)不變的這件事，就想出一種用容易數(shù)的東西米替換不容易數(shù)的東西。

????????據(jù)說(shuō)豐豆秀吉為了數(shù)山上的樹木，就在每棵樹上系一根繩頭兒，然后再數(shù)這些繩頭兒。這就足把樹的集合以一一對(duì)應(yīng)的方法轉(zhuǎn)換為繩頭兒的集合，然后再數(shù)。

????????另外，根據(jù)一位旅行家的手記，說(shuō)在馬達(dá)加斯加島，為了數(shù)有多少士兵，讓每一名士兵走過(guò)隊(duì)長(zhǎng)面的時(shí)，投下一粒石子，然后數(shù)那堆石子。這也是因?yàn)槭勘募吓c小石子的集合是一一對(duì)應(yīng)的，壽司店在顧客每吃一個(gè)壽司飯團(tuán)時(shí)，就在柜臺(tái)上粘一個(gè)飯粒，以此來(lái)數(shù)吃過(guò)的壽司飯團(tuán)數(shù)，這也是利用了一一對(duì)應(yīng)而數(shù)不變的原則。

1.4 分割而不變

????????和把蛋換成完全不相同的樹不一樣，我們知道“把某個(gè)集合分成兩個(gè)部分或更多時(shí)，其總數(shù)仍不變”，這是知道數(shù)的第二個(gè)條件。這是因?yàn)榘蜒b在一個(gè)容器里的玻璃球移到形狀不同的另一個(gè)容器中時(shí)，其數(shù)目是不變的。

????????即使再分到兩個(gè)容器里，總數(shù)還是不變的。這也是皮亞杰的實(shí)驗(yàn)，四五歲左右的孩子好像不明白雖然分割而數(shù)不變的原則。讓五歲半的孩子把一個(gè)容器里裝的玻璃球分裝到兩個(gè)容器時(shí)，孩子說(shuō)玻璃球比原來(lái)多了。這大概是因?yàn)楹⒆颖粌蓚€(gè)容器迷惑了。

????????據(jù)說(shuō)，開始知道不論分割還是合并，玻璃球的總數(shù)是不變這件事，是在孩子6 歲到7歲左右。

????????第三個(gè)條件是 “即使改變計(jì)數(shù)的順序，數(shù)也不變”。

????????盤子里放著玻璃球，不論以什么順序來(lái)數(shù)，答案都是一樣的。7個(gè)人的家庭，按年齡順序從祖父、父、母??數(shù)起是7個(gè)人，從最小的孩子開始數(shù)也是7個(gè)人。世就是說(shuō)，不論怎樣政變計(jì)數(shù)順序，數(shù)是相同的。

????????據(jù)說(shuō)很小的孩子也不知道這一點(diǎn)。把兩種東西的集合按照某種順序一一對(duì)應(yīng)時(shí)，要是把其中一種集合的順序打亂，孩子就會(huì)奇怪為什么數(shù)還是一樣的。

????????下面這種抽簽方法就是利用了這一事實(shí)。這個(gè)抽簽是給 A, B, C,D四個(gè)人標(biāo)上 1，2，3，4號(hào)。首先在A，B,C，D與1,2,3,4之間各連一條直線。在直線之間隨意畫上一些橫線

????????預(yù)先規(guī)定好，碰到橫線和豎線的交點(diǎn)就必須向下或向左在拐彎。A 和B之間畫一條橫線就改變了A和B的順序。橫線雖然起到交換兩個(gè)文字的作用，可是字母的總數(shù)絕不會(huì)變，所以用不著擔(dān)心從 A出發(fā)的人沒有地方可去。4這個(gè)數(shù)不會(huì)因順序的交替而變化。當(dāng)然這不僅是 4，100 也好，1000 也好，都是同樣的。

????????這樣用一一對(duì)應(yīng)來(lái)替換、分割或改變順序而不變的東西就是數(shù)。