p1（映射）

知識(shí)點(diǎn)——

1.映射的三要素：定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系與值域。在這里強(qiáng)調(diào)一下定義域＝集合X，而值域?集合Y。

2.定義域中的任一元素x∈集合X，所對(duì)應(yīng)的y是唯一的，但同一個(gè)y可以對(duì)應(yīng)多個(gè)x。

直到這里來(lái)看，總體來(lái)說(shuō)，第一課還是相對(duì)簡(jiǎn)單的，與高中時(shí)候的函數(shù)并無(wú)太大的差異。

下面是相對(duì)高中知識(shí)來(lái)說(shuō)新的概念：

滿射：當(dāng)集合Y中的所有元素都有對(duì)應(yīng)的x（也就是值域＝集合Y）時(shí)，這時(shí)就叫做滿射。

單射：每個(gè)y都只對(duì)應(yīng)一個(gè)x，舉個(gè)例子，如一次函數(shù)。

哦，老師講得挺好的

∵x1≠x2

∴f（x1）≠f（x2），y1≠y2

比較系統(tǒng)。

逆映射：這種情況下一定得是單射，才能通過(guò)已知的y來(lái)反推唯一的x，可以理解成把xy直角坐標(biāo)系圖像直接翻過(guò)來(lái)www，值得注意的是，因?yàn)闆](méi)有要求滿射，所以這時(shí)候的圖像會(huì)出現(xiàn)“部分y不存在對(duì)應(yīng)的x”的情況，所以我們要強(qiáng)調(diào)y∈值域。

多說(shuō)無(wú)益，上模板：

f：X→Rf g：Rf→X

則此時(shí)g為f的逆映射，

記作：f∧-1（讀作f逆）

（當(dāng)然，f應(yīng)該也可以記作g∧-1）

復(fù)合映射：這玩意聽(tīng)著挺抽象的，直到f[g(x)]∈Z出來(lái)，是不是松了一口氣？www

回到正題，這個(gè)類似于復(fù)合函數(shù)，唯一的不同是……等等，先抄模板：

g：X→Y1 f：Y2→Z

Y1?Y2，x∈X，f[g(x)]∈Z

然后得出復(fù)合映射f°g：X→Z

最大的區(qū)別在于復(fù)合函數(shù)沒(méi)有Y1?Y2這一系列的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因?yàn)槲覀兺ǔＤJ(rèn)這些條件是成立的，也可以看出來(lái)映射與函數(shù)的不同在于它相當(dāng)強(qiáng)調(diào)x與最后得出的y的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

或者說(shuō)：要確保x最后一定存在一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的y。

這里應(yīng)該同時(shí)屬于滿射和單射，還能看出來(lái)當(dāng)二者同時(shí)存在時(shí)，X和Y的元素?cái)?shù)量一致。

有點(diǎn)小啰嗦的知識(shí)點(diǎn)：

XY不能為空集，也可以不是數(shù)字集。

就這點(diǎn)還算好理解，結(jié)合函數(shù)圖像來(lái)看，如果XY任一為空集圖像就不存在，函數(shù)也就沒(méi)有意義，可以不是數(shù)字集這點(diǎn)可以馬克一下，不知道后面會(huì)不會(huì)用到（不過(guò)就算用到可能也就是用到虛數(shù)集合的程度吧）

因?yàn)橛悬c(diǎn)懶所以也沒(méi)抄，但想了想還是得用：

值域的符號(hào)是Rf，如果和Y混用會(huì)出錯(cuò)。

f是映射，可以借用以前的f（x）=y來(lái)理解，也就是表示xy間關(guān)系的符號(hào)。

定義域的符號(hào)是Df，因?yàn)樗c集合X完全相等，估計(jì)直接記X也沒(méi)問(wèn)題，不過(guò)記起來(lái)也完全不麻煩，dingyiyu的D嘛www（日語(yǔ)生真的是??）

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寫(xiě)在p2前面，筆記原屬于私人筆記，為了作為作業(yè)方便家里姐姐檢查才公開(kāi)的，我也只是一個(gè)還在家里休學(xué)的高中生而已，要是有問(wèn)題要問(wèn)我當(dāng)然會(huì)盡力去解答，但也請(qǐng)別太抱有希望……

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p2（函數(shù)）

這節(jié)主要是詳細(xì)講解了一下我們比較熟悉的函數(shù)，可以借此來(lái)比較函數(shù)與映射的不同。

函數(shù)只有兩個(gè)要素：

1.定義域（Df），它必須是實(shí)數(shù)或者其子集。

2.轉(zhuǎn)換關(guān)系（f）

而值域視定義域而定，也就默認(rèn)只能?R。

總結(jié)一下，

定義域?yàn)镈，且D?R

轉(zhuǎn)換關(guān)系f：D→R

而值域Rf視D而定，即Rf=f（D），顯然，

Rf也?R

順便，畢竟是“函數(shù)”，也就說(shuō)明了它的兩個(gè)域都只能是數(shù)字集。

舉例介紹函數(shù)的解析式和圖形。

其實(shí)沒(méi)什么新東西，都是我們相當(dāng)熟悉的內(nèi)容，不過(guò)這里老師講到一個(gè)“sgn”，也就是我們?cè)?jīng)常見(jiàn)的分段函數(shù)的符號(hào)。

這道題挺有意思的www，剛才被一個(gè)彈幕逗樂(lè)了

“圖像為??—.—”

噗哈哈哈哈哈

對(duì)自己在課堂上的一點(diǎn)總結(jié)：

雖然值域?yàn)榱瞬粫?huì)實(shí)數(shù)符號(hào)R混淆，只能用Rf來(lái)表示，但D與Df都是用來(lái)表示定義域的，隨便寫(xiě)哪個(gè)都沒(méi)問(wèn)題。

關(guān)于這點(diǎn)得到了一個(gè)教訓(xùn)，上課的時(shí)候要集中注意力，特別是各種各樣的符號(hào)變多的時(shí)候，不然就得像這次一樣要回過(guò)頭再去翻老師的解釋了。

現(xiàn)實(shí)課堂毋round2，上課分神需謹(jǐn)慎。

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p3（函數(shù)特性）

（1）有界性

上界：?K1 f（x）≤K1

下界：?k2 f（x）≥k2

它們都不唯一，例如：

函數(shù)中x（min）＝1

那么≥1就是它的一個(gè)下界，但不是它唯一的下界，還可以是≥0或者＞0

有界：?正數(shù)M，丨f（x）丨≤M

即 -M≤f（x）≤M

只要可以把函數(shù)左右兩端框起來(lái)，就是說(shuō)使函數(shù)的值域不是無(wú)限的，那就是有界。

那什么是無(wú)界呢？

拉出我們的好伙伴逆命題：

?正數(shù)M，?x1∈X，丨f（x1）丨＞M

這樣一來(lái)就無(wú)法框住這個(gè)函數(shù)了，它將無(wú)邊無(wú)界，在無(wú)限的前景中愈行愈遠(yuǎn)（bushi

單調(diào)性，奇偶性，周期性這些都是相當(dāng)熟悉的內(nèi)容了，沒(méi)什么好說(shuō)的，講一下我腦子里現(xiàn)在閃過(guò)的幾個(gè)點(diǎn)得了。

單調(diào)性：同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，

x1＞x2，f（x1）＞f（x2），單調(diào)遞增，反之單調(diào)遞減。

奇偶性：定義域要對(duì)稱，f（-x）＝f（x）為偶，f（-x）＝-f（x）為奇。

周期性：以基本三角函數(shù)sin或cos為例，周期為2πx，存在最小正周期2π。

但并非每個(gè)周期函數(shù)都有最小正周期。

這個(gè)例子就較為驚悚，很難不懷疑老師在存心拿我尋樂(lè)www。

但是其實(shí)理解起來(lái)也簡(jiǎn)單，即便它確實(shí)是一個(gè)周期函數(shù)，但是因?yàn)榭梢詿o(wú)限細(xì)分，無(wú)法找到它的最小正周期。

看到有人質(zhì)疑這個(gè)函數(shù)為什么是周期函數(shù)，就按我的理解解釋一下，因?yàn)橛欣頂?shù)具有一定的周期（任何有理數(shù)都可以用兩個(gè)整數(shù)間的分?jǐn)?shù)來(lái)表示，如三又三分之一、三又三分之二，如果再細(xì)分甚至可以分到三又無(wú)窮大分之一、三又無(wú)窮大分之二，因?yàn)樗欠謹(jǐn)?shù)，所以依然是有理數(shù)，而它們兩兩之間間隔必定相等，所以具有周期性），而無(wú)理數(shù)是非有理數(shù)，也必然存在一定的周期，所以一整個(gè)就是一個(gè)周期函數(shù)。（cpu給我干冒煙了）

綜上，在此函數(shù)中，零到任一個(gè)有理數(shù)間的間隔都可以視作一個(gè)周期。

而老師的解釋比較直白一點(diǎn)，搞了半天整得像我想多了似的，越想越氣，不抄了自己看。

這個(gè)是為自己寫(xiě)的一點(diǎn)筆記：

以前學(xué)充分必要的時(shí)候會(huì)混淆?和?，畢竟?既可以是“any”也可以是“all”，直到我變成了日語(yǔ)笨蛋，只能用“every”來(lái)解釋?時(shí)，才徹底擺脫了這個(gè)苦惱。

這一課的內(nèi)容不太密集，主要是舉例講概念、講故事、復(fù)習(xí)以前的內(nèi)容多點(diǎn)，實(shí)際上的內(nèi)容也就那點(diǎn)，還沒(méi)到需要有壓力的時(shí)候。

不過(guò)還是建議不要跳過(guò)那些內(nèi)容，利用那點(diǎn)緩沖時(shí)間換一下腦子，整理一下思緒。

在“愛(ài)情故事”里面延伸出來(lái)的東西很多，階乘、聯(lián)加，主要還有一個(gè)以前沒(méi)接觸過(guò)的概念，鳥(niǎo)居……不是，聯(lián)乘，和聯(lián)加差不多，只是由加號(hào)變?yōu)榱顺颂?hào)。

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p4（函數(shù)延伸）

（1）反函數(shù)

同p1里我們學(xué)過(guò)的逆映射，首先，它必須是單射。

因?yàn)榉春瘮?shù)的圖像是原圖像關(guān)于x＝y(tǒng)對(duì)稱，所以：

若原函數(shù)具有單調(diào)性，則反函數(shù)也必具有單調(diào)性，且單調(diào)性相同。（原圖像遞增就是遞增，遞減就隨之遞減。）

（2）復(fù)合函數(shù)

也與之前的復(fù)合映射同理。

同樣有“前一函數(shù)的值域必須在后一函數(shù)的定義域內(nèi)”，但做題時(shí)我們通常不用關(guān)注。

運(yùn)算方面：

后面很少用到，而且和四則運(yùn)算一樣，基本不用看。

f(x) g(x) Df Dg

D＝Df∩Dg≠?（因?yàn)閤得同時(shí)符合兩個(gè)函數(shù)的定義域，所以它們需要有一個(gè)共同的定義域。）

(f±g)(x)＝f(x)±g(x)（函數(shù)相加減等于函數(shù)值相加減。）

(f??g)(x)＝f(x)??g(x)（函數(shù)相乘等于函數(shù)值相乘。）

(f/g)(x)＝f(x)/g(x) g(x)≠0

姑且點(diǎn)一下黑板，老師所言：復(fù)合函數(shù)對(duì)后面的內(nèi)容來(lái)說(shuō)很重要，在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和全微分會(huì)用到。

不太清楚問(wèn)題是什么，可能會(huì)聽(tīng)得有點(diǎn)一頭霧水，大概是要證明“任一函數(shù)都能用一個(gè)偶函數(shù)和一個(gè)奇函數(shù)相加表示”？

不過(guò)證明方式挺簡(jiǎn)單，直接將一個(gè)偶函數(shù)g加一個(gè)奇函數(shù)h代進(jìn)去，設(shè)其成立，然后設(shè)X＝-x與x，得到方程式組：

f(x)＝g(x) + h(x)

f(-x)＝g(x) + [-h(x)]＝g(x) - h(x)

相加得f(x) + f(-x)＝2g(x)，

1 g(x)＝1/2[f(x) + f(-x)]*

相減得f(x) - f(-x)＝2h(x)，

2 h(x)＝1/2[f(x) - f(-x)]

然后再拿兩個(gè)式子相加，得：

1/2[f(x) + f(-x)] + 1/2[f(x) - f(-x)]＝f(x)

式子成立。

若是不放心，也可以拿上面1、2兩式代入 X＝-x來(lái)驗(yàn)證是否真的是奇/偶函數(shù)，不過(guò)我認(rèn)為沒(méi)必要，畢竟已經(jīng)把g(-x)＝g(x)、h(-x)＝-h(x)默認(rèn)為對(duì)的了，所以就不再驗(yàn)算了。（主要是懶，各種數(shù)學(xué)符號(hào)真的難打）

（3）初等函數(shù)

如：冪函數(shù) y＝x∧a

指數(shù)函數(shù) y＝a∧x

對(duì)數(shù)函數(shù) y＝log∨a x（如何表示對(duì)數(shù)函數(shù)，這個(gè)是真的在認(rèn)知范圍外了）

這些都屬于“基本初等函數(shù)”

那么“初等函數(shù)”的概念是什么呢？

只要是有限次的基本初等函數(shù)復(fù)合，都屬于基本函數(shù)，強(qiáng)調(diào)有限次。

自此，第一小節(jié)的內(nèi)容完結(jié)，總體而言，這部分的內(nèi)容很淺，而且不會(huì)怎么考，屬于給高中生一個(gè)邁入高等數(shù)學(xué)的緩沖。

原來(lái)想多少說(shuō)些什么，可是抬頭一看已經(jīng)四點(diǎn)多了，家里貓貓都睡了，也就不再多說(shuō)了，現(xiàn)在也去找個(gè)視頻睡了罷