等差、等比數(shù)列重要性質(zhì)全匯總！|小姚老師
等差、等比數(shù)列重要性質(zhì)全匯總！
|小姚老師
注意：筆記在前總結(jié)在后，一定要看我的總結(jié)?。?！
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等差數(shù)列：
設(shè)首項為a1 , 末項為an , 項數(shù)為n , 公差為 d , 前 n項和為Sn
,則有:
等差數(shù)列求和公式
當d≠0時，Sn是n的二次函數(shù)，（n，Sn）是二次函數(shù) 的圖象上一群孤立的點。利用其幾何意義可求前n項和Sn的最值。
注意：公式一二三事實上是等價的，在公式一中不必要求公差等于一。
求和推導
證明：由題意得：
Sn=a1+a2+a3+。。。+an①
Sn=an+a（n-1）+a（n-2）+。。。+a1②
①+②得：
2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](當n為偶數(shù)時)
Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2
Sn=n（A1+An）/2 (a1，an，可以用a1+（n-1）d這種形式表示可以發(fā)現(xiàn)括號里面的數(shù)都是一個定值，即（A1+An）
通向推導：
等差數(shù)列基本公式:
末項=首項+(項數(shù)-1)×公差
項數(shù)=(末項-首項)÷公差+1
首項=末項-(項數(shù)-1)×公差
和=(首項+末項)×項數(shù)÷2
差:首項+項數(shù)×(項數(shù)-1)×公差÷2
來一道題練練手：
轉(zhuǎn)化成基本量處理：
來一道有點小難度的題目~
如果代上式計算量過大，所以要技巧
左右兩項數(shù)量相等
角標數(shù)量和相同
作用：實現(xiàn)通項公式的轉(zhuǎn)換
若 m、n、p、q∈N
①若m+n=p+q，則am+an=ap+aq
②若m+n=2q，則am+an=2aq（等差中項）
注意：上述公式中an表示等差數(shù)列的第n項。???
推論：等差中項
通項正負繼續(xù)推單調(diào)性
推論二：
作用：a與S互相轉(zhuǎn)化
如下
例三：
答案：
推論：
例子：
構(gòu)造：
推論：
證明：
例子：
答案：
等差數(shù)列基本公式:
末項=首項+(項數(shù)-1)×公差
項數(shù)=(末項-首項)÷公差+1
首項=末項-(項數(shù)-1)×公差
和=(首項+末項)×項數(shù)÷2
差:首項+項數(shù)×(項數(shù)-1)×公差÷2
等比數(shù)列：
等比數(shù)列求和公式為：Sn=n*a?(q=1) Sn=a?(1-q^n)/(1-q) =(a?-anq)/(1-q) （q不等于 1）
通項公式：
an=a1×q^(n-1)；
推廣式：an=am×q^(n-m)；
等比數(shù)列的意義
一個數(shù)列，如果任意的后一項與前一項的比值是同一個常數(shù)，
即：A(n+1)/A(n)=q (n∈N*)，
這個數(shù)列叫等比數(shù)列，其中常數(shù)q 叫作公比。
如：
2、4、8、16......2^10
就是一個等比數(shù)列，其公比為2，
可寫為（A2）的平方=（A1）x（A3）
性質(zhì)：
①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，則am×an=ap×aq；
②在等比數(shù)列中，依次每 k項之和仍成等比數(shù)列；
等比數(shù)列的特殊性質(zhì)
③若m、n、q∈N，且m+n=2q，則am×an=(aq)^2；
④ 若G是a、b的等比中項，則G^2=ab（G ≠ 0）；
⑤在等比數(shù)列中，首項a1與公比q都不為零.
注意：上述公式中an表示等比數(shù)列的第n項。???
求和公式
Sn=n×a1 (q=1)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)=a1(q^n-1)/(q-1)
S∞=a1/(1-q) （n-> ∞）（|q|<1）
(q為公比，n為項數(shù)）
例子：
答案：
性質(zhì)二證明：
例子：
答案：
總結(jié)：
等差數(shù)列：設(shè)首項為a1 , 末項為an , 項數(shù)為n , 公差為 d , 前 n項和為Sn
,則有:
等差數(shù)列求和公式
當d≠0時，Sn是n的二次函數(shù)，（n，Sn）是二次函數(shù) 的圖象上一群孤立的點。利用其幾何意義可求前n項和Sn的最值。
注意：公式一二三事實上是等價的，在公式一中不必要求公差等于一。
求和推導
證明：由題意得：
Sn=a1+a2+a3+。。。+an①
Sn=an+a（n-1）+a（n-2）+。。。+a1②
①+②得：
2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](當n為偶數(shù)時)
Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2
Sn=n（A1+An）/2 (a1，an，可以用a1+（n-1）d這種形式表示可以發(fā)現(xiàn)括號里面的數(shù)都是一個定值，即（A1+An）
通向推導：
等差數(shù)列基本公式:
末項=首項+(項數(shù)-1)×公差
項數(shù)=(末項-首項)÷公差+1
首項=末項-(項數(shù)-1)×公差
和=(首項+末項)×項數(shù)÷2
差:首項+項數(shù)×(項數(shù)-1)×公差÷2
性質(zhì)：
若 m、n、p、q∈N
①若m+n=p+q，則am+an=ap+aq
②若m+n=2q，則am+an=2aq（等差中項）
注意：上述公式中an表示等差數(shù)列的第n項。
等比數(shù)列：
等比數(shù)列求和公式為：Sn=n*a?(q=1) Sn=a?(1-q^n)/(1-q) =(a?-anq)/(1-q) （q不等于 1）
通項公式：
an=a1×q^(n-1)；
推廣式：an=am×q^(n-m)；
等比數(shù)列的意義
一個數(shù)列，如果任意的后一項與前一項的比值是同一個常數(shù)，
即：A(n+1)/A(n)=q (n∈N*)，
這個數(shù)列叫等比數(shù)列，其中常數(shù)q 叫作公比。
如：
2、4、8、16......2^10
就是一個等比數(shù)列，其公比為2，
可寫為（A2）的平方=（A1）x（A3）
性質(zhì)：
①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，則am×an=ap×aq；
②在等比數(shù)列中，依次每 k項之和仍成等比數(shù)列；
等比數(shù)列的特殊性質(zhì)
③若m、n、q∈N，且m+n=2q，則am×an=(aq)^2；
④ 若G是a、b的等比中項，則G^2=ab（G ≠ 0）；
⑤在等比數(shù)列中，首項a1與公比q都不為零.
注意：上述公式中an表示等比數(shù)列的第n項。???
求和公式
Sn=n×a1 (q=1)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)=a1(q^n-1)/(q-1)
S∞=a1/(1-q) （n-> ∞）（|q|<1）
(q為公比，n為項數(shù)）
