傳染病問(wèn)題（Logistic模型）

一個(gè)區(qū)域有M只老鼠，其中N只患上了傳染病。他們可以通過(guò)接觸將病傳染給健康的老鼠。問(wèn)任意時(shí)刻患上傳染病的老鼠有多少？

解：設(shè)任意t時(shí)刻病鼠和健康老鼠的數(shù)目分別為u和v，則

一只病鼠能接觸多少老鼠？

當(dāng)區(qū)域內(nèi)老鼠越多，能接觸到的老鼠也就越多。假定這個(gè)比例數(shù)是，那么能接觸到只老鼠。

那么這只老鼠中，健康老鼠的比例為，那么一只病鼠能平均接觸到只健康老鼠。

一共有當(dāng)前，一共有u只病鼠，所以

病鼠數(shù)目的變化率正比于乘積uv，即

這里非線性項(xiàng)uv刻畫(huà)老鼠的接觸性傳染，比例系數(shù)。利用式（1.1.3），v = M - u，可以將方程（1.1.4）修改為

其中，?，F(xiàn)在求解方程（1.1.5），首先將它寫(xiě)成

為了以后湊積分方便，交換分子上的方向。

的形式，然后兩邊取定積分

利用積分公式

先看左邊的部分：

右邊部分

左右兩邊結(jié)合

式（1.1.7）給出

式（1.1.9）作為非線性方程（1.1.5）的解給出任意時(shí)刻病鼠的數(shù)目。我們看出，它正是眾所周知的生物學(xué)中的“生長(zhǎng)曲線”，如圖1.1所示。