a.基本簡介

一般地，我們把形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中a稱為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項。x為自變量，y為因變量。等號右邊自變量的最高次數(shù)是2。

b.主要特點(diǎn)

“變量”不同于“未知數(shù)”，不能說“二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項式函數(shù)”。“未知數(shù)”只是一個數(shù)（具體值未知，但是只取一個值），“變量”可在一定范圍內(nèi)任意取值。在方程中適用“未知數(shù)”的概念（函數(shù)方程、微分方程中是未知函數(shù)，但不論是未知數(shù)還是未知函數(shù)，一般都表示一個數(shù)或函數(shù)——也會遇到特殊情況），但是函數(shù)中的字母表示的是變量，意義已經(jīng)有所不同。從函數(shù)的定義也可看出二者的差別.如同函數(shù)不等于函數(shù)關(guān)系。

折疊二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的情況

當(dāng)Δ=b2-4ac>0時，函數(shù)圖像與x軸有兩個交點(diǎn)。

當(dāng)Δ=b2-4ac=0時，函數(shù)圖像與x軸只有一個交點(diǎn)。

當(dāng)Δ=b2-4ac<0時，函數(shù)圖像與x軸沒有交點(diǎn)。

c.圖像

在平面直角坐標(biāo)系（Plane rectangular coordinates）中作出二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。 如果所畫圖形準(zhǔn)確無誤，那么二次函數(shù)圖像將是由一般式y(tǒng)=ax2平移得到的。

注意：草圖要有 :

1. 本身圖像，旁邊注明函數(shù)。

2. 畫出對稱軸，并注明直線解析式 （x= -b/2a）

3. 與x軸交點(diǎn)坐標(biāo) (x?,0)，(x?, 0)，與Y軸交點(diǎn)坐標(biāo)(0,c)，頂點(diǎn)坐標(biāo)[-b/2a, (4ac-b2)/4a].

d.軸對稱

二次函數(shù)圖像是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a.?

對稱軸與二次函數(shù)圖像唯一的交點(diǎn)為二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)P.?

特別地，當(dāng)b=0時，二次函數(shù)圖像的對稱軸是y軸（即直線x=0）.?

當(dāng)a,b同號，即ab>0時，對稱軸在y軸左側(cè).

當(dāng)a,b異號，即ab<0時，對稱軸在y軸右側(cè).

e.頂點(diǎn)

二次函數(shù)圖像有一個頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P ( h,k )，即[-b/2a, (4ac-b2)/4a].

當(dāng)h=0時，P在y軸上；

當(dāng)k=0時，P在x軸上。

即可表示為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k。

由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式：h=-b/2a， k=(4ac-b2)/4a。

f.開口方向和大小

二次項系數(shù)a決定二次函數(shù)圖像的開口方向和大小。

當(dāng)a>0時，拋物線向上開口；當(dāng)a<0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則二次函數(shù)圖像的開口越??；反之，則二次函數(shù)圖像的開口越大。

g.決定對稱軸的因素

二次項系數(shù)a和一次項系數(shù)b共同決定對稱軸的位置。

二次函數(shù)

當(dāng)a>0，與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左側(cè)。 因為對稱軸在左邊則對稱軸小于0，也就是- b/2a<0，所以 b/2a要大于0，所以a、b要同號

當(dāng)a>0,與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右側(cè)。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要異號

可簡單記憶為“左同右異”，即當(dāng)a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)a與b異號時（即ab<0 ），對稱軸在y軸右側(cè)。

事實上，b有其自身的幾何意義：二次函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)處（即x=0處）的該二次函數(shù)圖像切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的斜率k的值，即 f`(0)=b，可通過對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。?

h.決定與y軸交點(diǎn)

常數(shù)項c決定二次函數(shù)圖像與y軸交點(diǎn)。

二次函數(shù)圖像與y軸交于(0,c)，即 f(0)=c

注意：頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k)， 與y軸交于（0,c)

i.

a<0且k>0或a>0且k<0時，二次函數(shù)圖像與x軸有2個交點(diǎn)。

k=0時，二次函數(shù)圖像與x軸只有1個交點(diǎn)。

a<0且k<0或a>0且k>0時，二次函數(shù)圖像與x軸無交點(diǎn)。

當(dāng)a>0時，函數(shù)在x=h處取得最小值ymin=k，在(h,+∞)范圍內(nèi)是單調(diào)遞增，在(-∞,h]范圍內(nèi)是單調(diào)遞減，二次函數(shù)圖像的開口向上，函數(shù)的值域是[k,+∞)

當(dāng)a<0時，函數(shù)在x=h處取得最大值ymax=k，在(-∞,h]范圍內(nèi)是單調(diào)遞增，在(h,+∞)范圍內(nèi)是單調(diào)遞減，二次函數(shù)圖像的開口向下，函數(shù)的值域是(-∞,k]

當(dāng)h=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數(shù)是偶函數(shù)

j.性質(zhì)

定義域（domain）：R

值域：當(dāng)a＞0時：①[(4ac-b2)/4a, +∞)；②[t, +∞)

當(dāng)a＜0時：①(-∞, (4ac-b2)/4a]；②(-∞,?t]

奇偶性：當(dāng)b=0時，函數(shù)為偶函數(shù)；當(dāng)b≠0時，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)?。

周期性：無

解析式：

①y=ax2+bx+c [一般式]（a≠0）

⑴a≠0

⑵a>0，則拋物線開口朝上；

a<0，則拋物線開口朝下；

⑶極值點(diǎn)（頂點(diǎn)）：[-b/2a，(4ac-b2)/4a]；

⑷Δ=b2-4ac（判別式）

Δ>0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)：

（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；

Δ=0，圖象與x軸交于一點(diǎn)：

（-b/2a，0）；

Δ<0，圖象與x軸無交點(diǎn)；

特殊地，當(dāng)Δ=4，頂點(diǎn)與兩零點(diǎn)圍成的三角形為等腰直角三角形；

當(dāng)Δ=12，頂點(diǎn)與兩零點(diǎn)圍成的三角形為等邊三角形。

②y=a(x-h)2+k [頂點(diǎn)式]（a≠0）

此時，對應(yīng)極值點(diǎn)為（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b2)/4a

③y=a(x-x?)(x-x?) [交點(diǎn)式（雙根式）]（a≠0）

對稱軸X=(X?+X?)/2 當(dāng)a>0 且X≧(X1+X2)/2時，Y隨X的增大而增大，當(dāng)a>0且X≤（X?+X?）/2時Y隨X的增大而減小。此時，

x?、x?即為函數(shù)與X軸的兩個交點(diǎn)，將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連用）。

交點(diǎn)式是Y=A(X-X?)(X-X?) 知道兩個x軸交點(diǎn)和另一個點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)交點(diǎn)式。兩交點(diǎn)X值就是相應(yīng)X? X?值。

增減性

當(dāng)a>0且y在對稱軸右側(cè)時，y隨x增大而增大，y在對稱軸左側(cè)則相反，同增同減。

當(dāng)a<0且y在對稱軸右側(cè)時，y隨x增大而減小，y在對稱軸左側(cè)則相反，大小小大。

最值

當(dāng)a＞0時，函數(shù)有最小值（4ac-b2）/4a。

當(dāng)a＜0時，函數(shù)有最大值（4ac-b2）/4a。

k.分類

一般式

y=ax2+bx+c (a≠0,a、b、c為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 [-b/2a,(4ac-b2)/4a]

把三個點(diǎn)代入式子得出一個二元一次方程組，就能解出a、b、c的值。

折疊頂點(diǎn)式

y=a(x-h)2+k (a≠0,a、h、k為常數(shù)), 頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k），對稱軸為x=h，頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)y=ax2的圖像相同，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式。

例：已知二次函數(shù)y的頂點(diǎn)(1,2)和另一任意點(diǎn)(3,10)，求y的解析式。

解：設(shè)y=a(x-1)2+2，把（3，10）代入上式，解得y=2(x-1)2+2。

折疊交點(diǎn)式

y=a(x-x?)(x-x?) (a≠0) [僅限于與x軸即y=0有交點(diǎn)A（x?，0）和 B（x?，0）的拋物線，即判別式Δ=b2-4ac≥0] .

已知拋物線與x軸即y=0有交點(diǎn)A（x?，0）和 B（x?，0）,我們可設(shè)y=a(x-x?)(x-x?),然后把第三點(diǎn)代入x、y中便可求出a。

由一般式變?yōu)榻稽c(diǎn)式的步驟：

二次函數(shù)

∵由韋達(dá)定理得：

x?+x?=-b/a；x1·x2=c/a

∴y=ax2+bx+c

=a(x2+b/ax+c/a)

=a(x+b/a)(x-c/a)

令y=0，則解得x?=-b/a, x?=c/a.?

重要概念：a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向。a>0時，開口方向向上；a<0時，開口方向向下。a的絕對值可以決定開口大小。a的絕對值越大開口就越小，a的絕對值越小開口就越大。

其他知識介紹：牛頓插值公式

由此可引導(dǎo)出交點(diǎn)式的系數(shù)a=y/(x-x?)(x-x?) [y為截距]，二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項式。