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介紹

布豐投針是幾何概率領(lǐng)域中最古老的問(wèn)題之一。它最早是在1777年提出的。它涉及將針頭放到襯有襯紙的紙上，并確定針頭越過(guò)頁(yè)面上一行的可能性。引人注目的結(jié)果是概率與pi的值直接相關(guān)。R程序?qū)⒏鶕?jù)上段所述的情況估算pi的值并使用gganimate進(jìn)行動(dòng)態(tài)可視化。

第1部分

對(duì)于A部分，我們創(chuàng)建一個(gè)數(shù)據(jù)幀，該數(shù)據(jù)幀將在3個(gè)不同的間隔上生成隨機(jī)值，這些間隔將代表x，y的范圍以及每個(gè)落針點(diǎn)的角度。這是一個(gè)易于實(shí)現(xiàn)的隨機(jī)數(shù)情況，需要使用runif函數(shù)。此功能要求輸入數(shù)量，后跟一個(gè)間隔。生成數(shù)字后，我們會(huì)將值保存到數(shù)據(jù)框中。

1. rneedle <- function(n) {

2. x = runif(n, 0, 5)

3. y = runif(n,0, 1)

4. angle = runif(n,-pi, pi) #angle from -180 to 180

5. values<-data.frame(cbind(x, y, angle))

6. return(values)

7. }

8. values<-rneedle(50)

9. #check that a 50 by 3 matrix is generated

10. 


11. values

12. #Our dataframe has been successfully produced.

?

第2部分

我們繪制第一部分中的針。重要的是不要在這個(gè)問(wèn)題上出現(xiàn)超過(guò)2條水平線。它使我們可以進(jìn)行較小的檢查以了解此處描繪的幾何特性的一般概念。話雖如此，讓我們注意我們決定在每個(gè)方向上將圖形擴(kuò)展1個(gè)單位。原因是想象一個(gè)針的尾巴從y = 1開(kāi)始，其角度為pi / 2。我們需要假設(shè)該方向的范圍最大為2。

1. 


2. plotneedle(values)

第3部分

在下面，將基于閱讀布馮針和基本幾何原理的知識(shí)，查看pi的估算值。

1. 


2. buffon(values)

?

第4部分

運(yùn)行代碼后，我們收到以下答案。> buffon（X）[1] 3.846154

1. set.seed(10312013)

2. X <- rneedle(50)

3. plotneedle(X)

4. buffon(X)

?

第5部分

如前幾節(jié)所述，當(dāng)我們放下更多的針頭時(shí)，我們期望以最小的可變性獲得更準(zhǔn)確的答案。從Approxpi函數(shù)運(yùn)行代碼后，我們收到了平均值= 3.172314和方差0.04751391的值。對(duì)于這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)，它對(duì)pi進(jìn)行了很高的估計(jì)。

1. 


2. Approxpi(500)

3. mean(Approxpi(500))

4. var(Approxpi(500))

接下來(lái)對(duì)模擬次數(shù)從500~600的預(yù)測(cè)進(jìn)行動(dòng)態(tài)可視化,紅色表示針投放到了直線上：

?

參考資料

Schroeder，L.（1974年）。布馮針問(wèn)題：許多數(shù)學(xué)概念的激動(dòng)人心的應(yīng)用。