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質(zhì)量和能量等價(jià)性的初等推導(dǎo)

2022-12-07 00:10 作者:劉無(wú)慕 0人讀過(guò) | 我要投稿

撰文｜愛(ài)因斯坦（1946）?

翻譯｜劉無(wú)慕（2022）

等價(jià)定律的以下推導(dǎo)以前沒(méi)有發(fā)表過(guò)，它有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)。盡管它利用了狹義相對(duì)論的原理，但它并沒(méi)有假定該理論的形式結(jié)構(gòu)，而只用了三個(gè)先前已知的定律：

（1）動(dòng)量守恒定律。

（2）輻射壓力的表達(dá)式；也就是向固定方向運(yùn)動(dòng)的一組輻射的動(dòng)量。

（3）著名的光行差表達(dá)式（地球運(yùn)動(dòng)對(duì)恒星表觀位置的影響---布拉德利（Bradley））。

我們現(xiàn)在考慮以下的系統(tǒng)。讓物體 $B$ 相對(duì)[坐標(biāo)]系 $K_0$ 在空間中自由地靜止。兩組各有能量 $%5Cfrac%7BE%7D%7B2%7D$ 的輻射 $S$ 和 $S'$ 分別在正的和負(fù)的 $X_0$ 方向運(yùn)動(dòng)，最終被 $B$ 吸收。

通過(guò)這種吸收， $B$ ?的能量增加了 $E$ 。因?yàn)閷?duì)稱性的緣故，物體 $B$ 相對(duì)于 $K_0$ 保持靜止。

現(xiàn)在我們從[坐標(biāo)]系 $K$ 來(lái)考察相同的過(guò)程， $K$ 以恒定速度 $v$ 在 $Z_0$ 負(fù)方向相對(duì) $K_0$ 運(yùn)動(dòng)。對(duì)于 $K$ 來(lái)說(shuō)，過(guò)程描述如下：

物體 $B$ 以速度 $v$ 沿著正 $Z$ 方向運(yùn)動(dòng)。兩組輻射的方向，在 $K$ 中與 $X$ 軸的夾角都是 $%5Calpha$ 。光行差定律說(shuō)，在一階近似下 $%5Calpha%20%3D%20%5Cfrac%7Bv%7D%7Bc%7D$ ?(原文中的表達(dá)式為 $%5Calpha%20%3D%20%5Cfrac%7Bc%7D%7Bv%7D$ ，是筆誤)，其中 $c$ 是光速。根據(jù) $K_0$ 中的考察，我們知道 $B$ 的速度 $v$ 在吸收 $S$ 和 $S'$ 后保持不變。

現(xiàn)在我們?cè)谧鴺?biāo)系 $K$ 中將 $Z$ 方向的動(dòng)量守恒定律應(yīng)用到我們的系統(tǒng)。

I. 在吸收之前，設(shè) $B$ 的質(zhì)量為 $M$ ；那么 $Mv$ 就是 $B$ 的動(dòng)量的表達(dá)式（根據(jù)經(jīng)典力學(xué)）。每一組輻射的能量為 $%5Cfrac%7BE%7D%7B2%7D$ ，因此，根據(jù)麥克斯韋理論的一個(gè)著名結(jié)論，它具有動(dòng)量 $%5Cfrac%7BE%7D%7B2c%7D$ 。嚴(yán)格地講這是 $S$ 相對(duì)于 $K_0$ 的動(dòng)量。然而，當(dāng) $v$ 遠(yuǎn)小于 $c$ 時(shí)，相對(duì)于 $K$ 的動(dòng)量是相同的，除了一個(gè)二階小量外（ $%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Bc%5E2%7D$ 與1相比）。這個(gè)動(dòng)量的 $Z$ 分量為 $%5Cfrac%7BE%7D%7B2c%7D%5Csin%5Calpha$ 或者為具有足夠精度的 $%5Cfrac%7BE%7D%7B2c%7D%5Calpha$ 或 $%5Cfrac%7BE%7D%7B2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7Bv%7D%7Bc%5E2%7D$ （除了一些高階小量）。因此， $S$ 和 $S'$ 合起來(lái)具有 $Z$ 方向的動(dòng)量 $E%5Cfrac%7Bv%7D%7Bc%5E2%7D$ 。因而，在吸收之前，系統(tǒng)的總動(dòng)量為

$Mv%2B%5Cfrac%7BE%7D%7Bc%5E2%7D%5Ccdot%20v$

II. 吸收之后，設(shè) $B$ 的質(zhì)量為 $M'$ 。我們?cè)谶@里預(yù)期質(zhì)量會(huì)隨著吸收能量 $E$ 而增加（為了使得最終的結(jié)果是一致的，這是必要的）。系統(tǒng)在吸收之后的動(dòng)量為

$M'v$

我們現(xiàn)在假定動(dòng)量守恒定律成立并將它應(yīng)用到 $Z$ 方向。這給出方程

$Mv%20%2B%20%5Cfrac%7BE%7D%7Bc%5E2%7Dv%20%3D%20M'%20v$

或者

$M'-M%20%3D%20%5Cfrac%7BE%7D%7Bc%5E2%7D$

這個(gè)方程表明了能量和質(zhì)量的等價(jià)性。能量增加 $E$ 與質(zhì)量增加 $%5Cfrac%7BE%7D%7Bc%5E2%7D$ 聯(lián)系在一起。因?yàn)楦鶕?jù)通常的定義，能量可以加上一個(gè)任意常數(shù)，我們可以選擇這個(gè)常數(shù)使得

$E%3DMc%5E2$

$%5Cboxed%7B%7D$

譯者注：

此文最初發(fā)表在1946年的Technion Journal，標(biāo)題為 An Elementary Derivation of the Equivalence of Mass and Energy。這里譯自愛(ài)因斯坦的《Out of my later years》, 125-128頁(yè)。

愛(ài)因斯坦是在1905年在文章《Does the Inertia of a Body Depend Upon Its Energy Content?》中推導(dǎo)出質(zhì)能方程的。鏈接為：

https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol2-trans/186

可能是因?yàn)橛^念太具有顛覆性，標(biāo)題上加了問(wèn)號(hào)。在1905年的文章中，愛(ài)因斯坦構(gòu)造了一個(gè)和本文類似的思想實(shí)驗(yàn)：物體發(fā)射兩組輻射；然后分析了運(yùn)動(dòng)物體在發(fā)射前后動(dòng)能的變化。發(fā)現(xiàn)動(dòng)能減少，速度不變，進(jìn)而推導(dǎo)出質(zhì)量減小。用到了多普勒公式來(lái)聯(lián)系不同參考系中輻射的能量。?

多普勒公式和本文中用到的光行差公式其實(shí)分別對(duì)應(yīng)著光子四動(dòng)量的洛倫茲變換的時(shí)間分量和空間分量。郭碩鴻的《電動(dòng)力學(xué)》就是采用的這種處理方式。

本文采用了大量的低速近似，但是在1905年的文章中只在最后一步用了低速近似。

說(shuō)起質(zhì)能方程，最容易想到的就是核反應(yīng)。愛(ài)因斯坦本人也是這采用這種方式來(lái)解釋，見(jiàn)視頻：

https://www.bilibili.com/video/BV17W411779n

現(xiàn)在質(zhì)量的單位“千克”是根據(jù)Taylor和Mohr在1999年提出的方案來(lái)定義的。利用質(zhì)能方程 $E%3DMc%5E2$ 和普朗克方程 $E%3Dh%5Cnu$ 可以將質(zhì)量和光子的頻率聯(lián)系起來(lái)。一千克的質(zhì)量對(duì)應(yīng)的光子頻率為 $135~639~274%5Ctimes%2010%5E%7B42%7D$ 赫茲。