這也許是計(jì)算量最小的做法了（2022乙卷圓錐曲線）

2022-06-15 14:02 作者:數(shù)學(xué)老頑童 0人讀過 | 我要投稿

（2022全國(guó)乙，20）已知橢圓? $E$ 的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為 $x$ 軸、 $y$ 軸，且過點(diǎn) $A%5Cleft(%200%2C-2%20%5Cright)%20$ 、 $B%5Cleft(%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%2C-1%20%5Cright)%20$ 兩點(diǎn).

（1）求 $E$ 的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn) $P%5Cleft(%201%2C-2%20%5Cright)%20$ 的直線交 $E$ 于 $M$ 、 $N$ 兩點(diǎn)，過 $M$ 且平行于 $x$ 軸的直線與線段 $AB$ 交于點(diǎn) $T$ ，點(diǎn) $H$ 滿足 $%5Coverrightarrow%7BMT%7D%3D%5Coverrightarrow%7BTH%7D$ .證明：直線 $HN$ 過定點(diǎn).

解：（1）設(shè)橢圓的方程為 $mx%5E2%2Bny%5E2%3D1$ ，

由題意得 $%5Cbegin%7Bcases%7D%094n%3D1%5C%5C%09%5Cfrac%7B9%7D%7B4%7Dm%2Bn%3D1%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$ ，解得 $%5Cbegin%7Bcases%7D%09m%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2C%5C%5C%09n%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D.%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$

故 $E$ 的方程為 $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B4%7D%3D1$ .

（2）先猜后證，直線 $HN$ 過定點(diǎn) $A$ .

如圖，連接 $AP$ ，易知 $AP$ 平行于 $HM$ （這個(gè)很關(guān)鍵！）

設(shè)直線 $PN$ 與線段 $AB$ 交于點(diǎn) $Q$ .

以 $%5Cleft%5C%7B%20%5Coverrightarrow%7BPA%7D%2C%5Coverrightarrow%7BPN%7D%20%5Cright%5C%7D%20$ 為基底，則

$%5Coverrightarrow%7BNA%7D%3D%5Coverrightarrow%7BPA%7D-%5Coverrightarrow%7BPN%7D$ ，

$%5Cbegin%7Baligned%7D%09%5Coverrightarrow%7BNH%7D%26%3D%5Coverrightarrow%7BMH%7D-%5Coverrightarrow%7BMN%7D%5C%5C%09%26%3D2%5Coverrightarrow%7BMT%7D-%5Cfrac%7BMN%7D%7BPN%7D%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%7BPN%7D%5C%5C%09%26%3D%5Cfrac%7B2MT%7D%7BPA%7D%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%7BPA%7D-%5Cfrac%7BMN%7D%7BPN%7D%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%7BPN%7D%5C%5C%09%26%3D%5Cfrac%7B2MQ%7D%7BPQ%7D%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%7BPA%7D-%5Cfrac%7BMN%7D%7BPN%7D%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%7BPN%7D%5C%5C%5Cend%7Baligned%7D$

欲證 $N$ 、 $H$ 、 $A$ 三點(diǎn)共線，

只需證 $%5Coverrightarrow%7BNA%7D$ 與 $%5Coverrightarrow%7BNH%7D$ 共線，

只需證 $%5Cfrac%7B2MQ%7D%7BPQ%7D%3D%5Cfrac%7BMN%7D%7BPN%7D$ ，

即 $%5Cfrac%7B2PQ-2PM%7D%7BPQ%7D%3D%5Cfrac%7BPN-PM%7D%7BPN%7D$ ，

即 $%5Cfrac%7B1%7D%7BPM%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7BPN%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7BPQ%7D$ .

設(shè)直線 $PN$ 的參數(shù)方程為

$%5Cbegin%7Bcases%7D%09x%3D1%2Bt%5Ccos%20%20%5Ctheta%20%2C%5C%5C%09y%3D-2%2Bt%5Csin%20%20%5Ctheta%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$ （ $t$ 為參數(shù)）

設(shè)點(diǎn) $M$ 、 $N%0A$ 、 $Q$ 對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為 $t_1$ 、 $t_2$ 、 $t_0$ ，則 $%5Cfrac%7B1%7D%7BPM%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7BPN%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7BPQ%7D%5CLeftrightarrow%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bt_1%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bt_2%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7Bt_0%7D$ .