今天學(xué)習(xí)一個標量場的真空能。在上一節(jié)中，我們已經(jīng)計算出了一個標量場對應(yīng)的Hamiltonian和動量算符，它們可以用粒子數(shù)算符來表示，結(jié)合Fock態(tài)的物理意義。真空態(tài)表示沒有任何粒子，它具有0動量我們計算出動量算符在真空態(tài)下的期望值為零。當(dāng)然對于能量我們也期望它在真空態(tài)下的期望值為零。但是容易看到Hamiltonian中的1/2項，會使整個真空的能量發(fā)散。注意我們在計算的過程中要使用Fock態(tài)的正交關(guān)系。

我們實際的積分場頻率在整個空間維度會得到Gamma函數(shù)，

Gamma 函數(shù)在 n >0 的所有偶數(shù)整數(shù)值處都包含極點。這種通過將時空維度從整數(shù)值繼續(xù)拉大而暫時使發(fā)散量有限化的方法構(gòu)成了維度正則化的基礎(chǔ)（見第 6 章）。

可以看出真空中含有無限的能量密度。這來源與Hamiltonian中的1/2項。由于模式頻率沒有上限，所以零點能可以無限大。然而在平坦時空中這個問題是容易解決的。在非引力物理學(xué)中，能量本身是不可測量的，因此我們可以重新調(diào)整能量零點的大小，甚至可以無限大，而不會影響可觀測量。要做到這一點，我們可以簡單地丟掉1/2項?；蛘呶覀兛梢远x一個新的計算過程標記為“：A：”，稱為正則排序計算。在這個計算中，我們要求所有的出現(xiàn)產(chǎn)生湮滅算符的地方都規(guī)定湮滅算符在前面，也就是：

由此Hamiltonian表示為：

這樣，1/2的項就會消失。

接下來我們考慮能動量張量的期望值，帶入標量場的展開式到能動量表達式的第一項中得到：

經(jīng)過計算，然后得到：

注意等式右邊表示稱為雙線性對于能動量張量。