題目:如圖1,I是△ABC的內心,點P,Q分別為I在邊AB,AC上的投影,直線PQ與△ABC的外接圓相交于點X,Y(P在X,Q之間),已知B,I,P,X四點共圓.

求證:C,I,Q,Y四點共圓.

思過程:已知B,I,P,X四點共圓,要證C,I,Q,Y四點共圓,同時A,X,B,C,Y在大圓上,先把涉及到的點練起來,方便倒角.

連接XB,IB,XI,IC,IY,YC,AX,AY.(如圖2)

觀察猜想,C,I,X共線.如果能證明這個結論,對倒角或找相似會有一定的幫助.

要證這三點共線,可以證明∠BIC+∠XIB=180°.

由內心性質,∠BIC=90°+1/2∠BAC.①

(∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-1/2(∠ABC+∠ACB)=180°-1/2(180°-∠BAC)=90°+1/2∠BAC°)

由AI角平分線可知AP=AQ,結合B,X,P,I四點共圓,可以得到:

∠XIB=∠XPB=∠APQ=1/2(180°-∠BAC)=90°-1/2∠BAC.②

①②相加即得結論.

有了B,I,C共線,就可以得到∠BAC=∠BXC=∠BXI=∠BPI=90°.

由此可以得到∠PIQ=90°,∠YQC=∠AQP=∠APQ=45°.

有了這么多角,可以考慮利用同弧所對圓周角相等來推C,I,Q,Y四點共圓.

那么我們可以試著證明∠YIC=∠YQC=45°.

由X,I,C共線,要證明結論,我們可以證明∠PIX+∠QIY=45°.

而∠QIY+∠QYI=∠PQI=45°.

因此,我們只要證明∠PIX=∠QYI.

又∠PIX=∠PBX=∠AYX,只要證明∠AYQ=∠QYI即可.

顯然△AYQ≌△QYI(SAS),結論便可以得到證明.

下面給出證明過程.

證明:

∵I是△ABC的內心

∴∠BIC=90°+1/2∠BAC

∵IP⊥AB,IQ⊥AC

∴AP＝AQ,IP=IQ,∠APQ＝∠AQP

∵B,X,P,I四點共圓

∴∠XIB=∠XPB=∠APQ=1/2(180°-∠BAC)=90°-1/2∠BAC

∴∠BIC+∠XIB=180°

即X,I,C三點共線

∴∠BAC=∠BXC=∠BXI=∠BPI=90°

∴四邊形APIQ是正方形

∴∠YQC=∠AQP=∠APQ=45°,∠AQY＝∠IQY,AQ＝IQ

∴△AQY≌△IQY

∴∠IYQ＝∠AYQ＝∠ABX＝∠XIP

∴∠XIP+∠QIY=∠QIY+∠QYI=45°

∴∠YIC＝45°＝∠CQY

即I,Q,Y,C四點共圓

幾何圖像網址：https://www.desmos.com/geometry-beta/5ytzpg4o8f?lang=zh-CN

制作不易，喜歡的話還請點個贊支持一下～

有什么更好的解法或者好的題目可以評論或私信我