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第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性

一、函數(shù)單調(diào)性的判定法

定理：設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)——

1. 如果在(a,b)內(nèi)f'(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)增加；

2. 如果在(a,b)內(nèi)f'(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)減少。
   

二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

概念——

• 凹弧、凸弧：設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，如果對I上任意兩點(diǎn)x1，x2，恒有

????——那么稱f(x)在I上的圖形是（向上）凹的（或凹弧），如果恒有

????——那么稱f(x)在I上的圖形是（向上）凸的（或凸弧）。

• 內(nèi)點(diǎn)：區(qū)間I的內(nèi)點(diǎn)是指端點(diǎn)外的I內(nèi)的點(diǎn)。

• 拐點(diǎn)：一般的，設(shè)y=f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，x0是I的內(nèi)點(diǎn)，如果曲線y=f(x)在經(jīng)過點(diǎn)(x0,f(x0))時，曲線的凹凸性變了，那么就稱點(diǎn)(x0,f(x0))為這曲線的拐點(diǎn)。
  

定理：設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么

1. 若在(a,b)內(nèi)f"(x)>0，則f(x)在[a,b]上的圖形是凹的；

2. 若在(a,b)內(nèi)f"(x)<0，則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的。

找拐點(diǎn)：

1. 求f"(x)；

2. 令f"(x)=0，解出這方程在區(qū)間I內(nèi)的實(shí)根，并求出在區(qū)間I內(nèi)f"(x)不存在的點(diǎn)；

3. 對于(2)中求出的每一個實(shí)根或二階導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)x0，檢查f"(x)在x0左、右兩側(cè)鄰近的符號，那么當(dāng)兩側(cè)的符號相反時，點(diǎn)(x0,f(x0))是拐點(diǎn)，當(dāng)兩側(cè)的符號相同時，點(diǎn)(x0,f(x0))不是拐點(diǎn)。

第五節(jié) 函數(shù)的極值與最大值最小值

一、函數(shù)的極值及其求法

定義：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義，如果對于相應(yīng)去心鄰域有

——那么就稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值（或極小值）。

概念——

• 極值：極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。

• 極值點(diǎn)：使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。

定理：

• （必要條件）設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，那么f'(x0)=0。

• （第一充分條件）設(shè)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，且在x0的某去心鄰域
  

• （第二充分條件）設(shè)f(x)在x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f'(x0)=0，f"(x0)≠0，那么

1. 當(dāng)f"(x0)<0時，函數(shù)f(x)在x0處取得極大值；

2. 當(dāng)f"(x0)>0時，函數(shù)f(x)在x0處取得極小值。

找極值：

1. 求出導(dǎo)數(shù)f'(x)；

2. 求出f(x)的全部駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)；

3. 考察f'(x)的符號在每個駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)的左、右鄰近的情形，以確定該點(diǎn)是否為極值點(diǎn)；如果是極值點(diǎn)，進(jìn)一步確定是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)；

4. 求出各極值點(diǎn)的函數(shù)值，就得函數(shù)f(x)的全部極值。
   

二、最大值最小值問題

概念——

• 目標(biāo)函數(shù)：在數(shù)學(xué)上有些問題有時可歸結(jié)為求某一函數(shù)（通常稱為目標(biāo)函數(shù)）的最大值或最小值問題。

求最值：

1. 由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，可知f(x)在[a,b]上的最大值和最小值一定存在；

2. 如果最大值（或最小值）f(x0)在開區(qū)間(a,)內(nèi)的點(diǎn)x0處取得，那么，按f(x)在開區(qū)間內(nèi)除有限個點(diǎn)外且至多由有限個駐點(diǎn)的假定，可知f(x0)一定也是f(x)的極大值（或極小值），從而x0一定是f(x)的駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)；

3. 又f(x)的最大值和最小值也可能在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，比較極值和端點(diǎn)值的大小，得出最值。