先前完成了螞蟻爬長方體，關(guān)鍵在于長方體的展開。這次的任務(wù)要來挑戰(zhàn)螞蟻爬圓柱，關(guān)鍵也在如何對圓柱作展開。其實(shí)在于圓如何展開。利用 Geogebra 的曲面與曲線指令就可完成這酷炫的 3D 效果。?

先備概念

在這次的操作會利用到移動坐標(biāo)的概念，建議可先參考 S4E09 邊繞邊轉(zhuǎn)的圓的概念。

關(guān)于螞蟻?zhàn)唛L方體，可參考 S7G3?https://www.bilibili.com/video/BV1Qz4y1o7Vb

任務(wù)一：繞圓滾動

說明

要達(dá)到圓柱在空間中的展開，先從平面上圓的展開來看。要做到圓的展開的效果，主要利用將一個圓滾動，將圓周攤開成一直線的方法。在這節(jié)先建立滑動條 t， 在建立動圓的圓心 Ot，接著線端的部分利用 Curve(u*(2pi,0),u,0,1) 來達(dá)成。

雖然可用線段 Segment 來達(dá)到這個效果，但 Curve 的概念是這節(jié)的重點(diǎn)，先繞大家認(rèn)識 Curve 的基本概念，通過一個參數(shù) u ，來控制曲線的軌跡。

操作

t= Slider(0,1,0.01,1,100)

Ot = (2pi t,0)

cOt = Circle(Ot,1)

l(u) = curve( u*(2pi,0),u,0,1)?

任務(wù)二：將圓展開

說明

這是本節(jié)最困難的一步。主要建立一個移動坐標(biāo)系，就是圖中 Ot，Xt, Yt 所構(gòu)成的坐標(biāo)。有了這個移動的坐標(biāo)系，就可利用這個坐標(biāo)搭配 cos ，sin 來繪制動圓。

首先是 Xt 的選定，這 Xt 會隨著 Ot 往前，同時作順時間繞轉(zhuǎn)，?而一開始位在 Ot 的正下方，因此， Xt 的設(shè)置為?? Ot +? cos(t)*(0,-1）+ sin(t)*(-1,0)?。這就可到到繞 Ot 轉(zhuǎn)動的效果。接下來為了控制周期為 2pi 。就將 Xt 設(shè)為? Ot +? cos(2 pi t)*(0,-1）+ sin(2 pi t)*(-1,0) 。類似地，也可設(shè)定 Yt 的坐標(biāo)為 Yt = Ot + (-cos(2 pi t), sin(2 pi t))。

接著就利用 Ot， Xt, Yt, 建立兩軸的向量 vx, vy。因此，繞 Ot 轉(zhuǎn)動的攤開圓弧就可設(shè)定為 c(t) Curve( Ot+ cos(2pi u) * vx + sin(2pi u)?*vy, ?u, t, 1) 。但這個其實(shí)位置還不正確，要將 u 在代換為 (1-u) 才能讓曲線終點(diǎn)結(jié)束在 Xt 。

有了先前的線段 l(u) 與圓上的圓弧 c(u), 就可利用 If 來將這個兩個曲線串聯(lián)來一起。

操作

Xt = Ot + (-sin(2 pi t),-sin(2 pi t))

Yt = Ot + (-cos(2 pi t), sin(2 pi t))

vx = Vector( Ot, Xt)

vy = Vector(Ot, Yt)

c(u) = Curve( cos(2 pi (1-u)) vx +?sin(2 pi (1-u))*vy , u, t, 1)

c2(u) = curve( If(u<=t, l(u),?c(u)),u,0,1)

任務(wù)三：圓柱的展開

說明

有了圓的曲線展開，通過surface 指令，就可達(dá)到空間中的曲面效果。先設(shè)定圓柱高度 h，接著利用 Surface( c2(u) + v*(0,0,h), u,0,1, v,0,1) 就可一行生成個動態(tài)展開的曲面。

要留意的就是 曲線是一個參數(shù)，但曲面是兩個參數(shù) u,v 。

操作

h = 3.14

s3 =Surface(? c2(u) + v*(0,0,h)? ?, u,0,1 ,v,0,1)

任務(wù)四?螞蟻爬圓柱

說明

這節(jié)主要利用先前的曲面 s3(u,v) 建立一個曲面上的曲線。通過 c3(u)?= Curve(?s3(u,u), u,0,1)?就可得到位在曲面上的曲線。

為了讓這個曲線長可以調(diào)控長度，再建立一個滑動條 s， 將參數(shù)改為?c3(u)?=?Curve(?s3(u,u), u,0,s)?，就可調(diào)整曲線長。

若要讓曲線多繞幾圈，因?yàn)榍娴牡讓蛹軜?gòu)是動圓，只要加速動圓上的轉(zhuǎn)速就可達(dá)到多次纏繞的效果。因此，設(shè)定滑動條 n，再將參數(shù)改為 c3 = Curve( s3(n*u,u) , u,0,s )。

操作

n = Slider(0,1,0.01,1,100)

s = slider(0,1,0.01,1,100)

c3 = Curve(? s3(n u,u) ?, u,0,s?)

小結(jié)

這節(jié)展示了 Geogebra 制作曲面的便利性，通過曲線參數(shù)式再加入第二個參數(shù)就可作出曲面，而對曲面的參數(shù)再作調(diào)整，就可限制為曲面上的曲線。

這節(jié)最有挑戰(zhàn)的是移動坐標(biāo)系的概念，這個在處理復(fù)合型的移動時相當(dāng)方便。主要就是解放原本坐標(biāo)系固定在 (0,0), (1,0), (0,1)?的思維。有了移動坐標(biāo)系就可作出更多動態(tài)的變化。

另外，也有 Geogebra 高手 九月的rain 利用切線的方式來處理圓柱的展開，這個方法也很不錯，鼓勵大家去參考比較?https://www.bilibili.com/video/BV1ei4y1s7pt?

參考鏈接

【GGB】https://www.geogebra.org/m/wufqzsgg?

【Bili】https://www.bilibili.com/video/BV1ky4y1J7Lg

【YouTube】https://www.youtube.com/playlist?list=PLXH05kw-i_5IOyxgGKHsek2beDFrcsPZ7