結(jié)合朋友給予的反饋，對上次那一題做一點補充說明，增進大家對這道題的理解。

上一次那道復雜的習題最后涉及到一個方程的解——

“由上述分析以及迭代關(guān)系式，令k趨向于無窮大，即可得到關(guān)于a'與a"的方程組——

1. lim?x2k=lim（c/2+x2k-1^2/2）=c/2+（lim?x2k-1^2）/2，即a'=c/2+a"^2/2；

2. lim?x2k-1=lim（c/2+x2k-2^2/2）=c/2+（lim?x2k-2^2）/2，即a"=c/2+a'^2/2；

3. 消去c：由1，c=2a'-a"^2，代入2，a"=（2a'-a"^2）/2+a'^2/2，化簡得到，a"-a'=（2a'^2-a"^2）/2，提公因式，（a"-a'）（a"+a'+2）=0；

4. 我們要找到數(shù)列收斂的c的范圍，由數(shù)列收斂，得到a'=a"，而a"+a'+2的取值待定——

   a.假如a"+a'+2=0，則a"=-2-a'；

   b.又a"=c/2+a'^2/2，則-2-a'=c/2+a'^2/2，即a'^2+2a'+c+4=0；

   c.因為a'與a"此時相等，而b中方程的解對應數(shù)列{x2k}與{x2k-1}的極限的取值，所以不存在相異解，即Δ=4-4（c+4）<=0，c>=-3；

   d.若負項數(shù)列{an}收斂，則a"+a'+2當且僅當c=-3時為0，此時數(shù)列極限為-1，其余情況下，均不為0；

5. 由此得到，當-3<=c<0時，原負項數(shù)列收斂。”

老碧又花了一夜時間，讓基友們理解，為啥上述步驟4c是成立的。

老碧的一個朋友的觀點，是很具有代表性的，Ta認為，方程a'^2+2a'+c+4=0有沒有解無所謂，只要a'=a"即可。

實際上，在大多數(shù)類似的題目中，Ta的觀點都是對的。

但是這一題之所以，不能夠讓這個方程有相異解的原因就在于，這是一個迭代數(shù)列，這里方程的兩個解之間是具有聯(lián)系，而非相互獨立的。

我們做一個簡單的推導即可證明4c——

1. 如果方程a'^2+2a'+c+4=0有相異解，則Δ=4-4（c+4）=-4c-12>0；

2. 那么由求根公式得到兩個解，x1=[-2+（-4c-12）^（1/2）]/2=-1+（-c-3）^（1/2），x2=-1-（-c-3）^（1/2）；

3. 那么，我們代入已知的a'與a"之間的關(guān)系來看，如果a'=x1=-1+（-c-3）^（1/2），則a"=c/2+a'^2/2=c/2+[-1+（-c-3）^（1/2）]^2/2=c/2+[1-2（-c-3）^（1/2）+（-c-3）]/2=c/2+[-2（-c-3）^（1/2）+（-c-2）]/2=c/2+[-（-c-3）^（1/2）+（-c/2-1）]=-1-（-c-3）^（1/2）=x2；

4. 同理，如果a'=x2，則a"=x1，即方程的兩個解，分別為數(shù)列奇數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列{x2k-1}、數(shù)列偶數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列{x2k-1}的極限；

5. 所以，如果想要是a'=a”成立，當且僅當x1=x2=-1才行，這是方程a'^2+2a'+c+4=0有解的情況，即（a"-a'）（a"+a'+2）=0中，（a"+a'+2）能夠取到0時的情況；

6. 如果方程a'^2+2a'+c+4=0無解，即（a"-a'）（a"+a'+2）=0中，（a"+a'+2）恒不為0，那么顯然當且僅當a'=a"時，該等式成立，故而，（a"+a'+2）恒不為0與數(shù)列收斂不存在明顯沖突的條件，即，Δ=4-4（c+4）<=0，c>=-3，也就是我們要找的負項數(shù)列時，數(shù)列收斂時c的取值范圍。

今天就到這里！