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如何通過三維動畫理解旋轉(zhuǎn)曲面

2023-07-06 15:17 作者:馬同學(xué)圖解數(shù)學(xué) 0人讀過 | 我要投稿

空間解析幾何中,旋轉(zhuǎn)曲面的研究是個重點(diǎn)?！陡叩葦?shù)學(xué)》教材里，要求掌握的旋轉(zhuǎn)曲面又很多，在不理解的情況下，很難想象出這些曲面是如何通過旋轉(zhuǎn)得到的。本文就會從圖像入手，給出旋轉(zhuǎn)曲面的生成動畫，幫助同學(xué)們建立直觀。

1 旋轉(zhuǎn)曲面

定義 .?某平面曲線繞其平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面（Rotational surface），該平面曲線稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線（Generating line of rotational surface），該定直線稱為旋轉(zhuǎn)曲面的軸（Axis of rotational surface）。

比如在下圖中，左側(cè)是 $hello$ ?面內(nèi)的某曲線，右側(cè)是將該曲線作為母線，繞 $hello$ ?軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)曲面。

將左側(cè) $hello$ ?面內(nèi)的某曲線作為母線，繞 $hello$ ?軸旋轉(zhuǎn)一周后得到右側(cè)的旋轉(zhuǎn)曲面

2 旋轉(zhuǎn)曲面的方程

下面詳細(xì)推導(dǎo)下 $hello$ ?面上的曲線 $hello$ ?繞 $hello$ ?軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程，其它的情況可自行舉一反三，后面的例子中也會有所涉及。

以下圖為例，其中有 $hello$ ?面上的曲線 $hello$ ?及其上的任一點(diǎn) $hello$ ?，以及曲線 $hello$ ?繞 $hello$ ?軸旋轉(zhuǎn)一周所成的某旋轉(zhuǎn)曲面，還有 $hello$ ?點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后所得的該旋轉(zhuǎn)曲面上的任一點(diǎn) $hello$ ?。

設(shè)曲線 $hello$ ?的方程為 $hello$ ?， $hello$ ?點(diǎn)的坐標(biāo)為 $hello$ ?， $hello$ ?點(diǎn)的坐標(biāo)為 $hello$ ?，可推出：

因 $hello$ ?點(diǎn)為曲線 $hello$ ?上的任一點(diǎn)，所以有 $hello$
因 $hello$ ?點(diǎn)由 $hello$ ?點(diǎn)繞 $hello$ ?軸旋轉(zhuǎn)所得，該變換過程不會改變 $hello$ ?坐標(biāo)，所以有 $hello$
因 $hello$ ?點(diǎn)由 $hello$ ?點(diǎn)繞 $hello$ ?軸旋轉(zhuǎn)所得，該變換過程也不會改變和 $hello$ ?軸的距離，所以 $hello$ ?點(diǎn)與 $hello$ ?軸的距離 $hello$ ?等于以 $hello$ ?點(diǎn)與 $hello$ ?軸的距離 $hello$ ?，如下圖所示。

從而可以推出：

$hello$

綜上，所以有：

$hello$

也就是說， $hello$ ?滿足方程 $hello$ ?。因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="https://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=M" alt="hello">?點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)曲面上的任一點(diǎn)，所以 $hello$ ?也是該旋轉(zhuǎn)曲面的方程。