在學(xué)到導(dǎo)數(shù)這一章時，關(guān)于指對函數(shù)的放縮問題，大家往往覺得非常困難，無從下筆。那么，我們不妨對放縮公式進行深入研究，看看里面是否有門道？

大家都清楚，高中階段最常用的指數(shù)放縮公式為：

這個公式也是教材上唯一出現(xiàn)的指數(shù)放縮公式，也是有心學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)放縮的同學(xué)們必須掌握的入門公式！

但有的時候，在證明含有指數(shù)函數(shù)的不等式時，同學(xué)們會發(fā)現(xiàn)使用上述公式進行放縮后，得出一個錯誤的式子，這是什么原因呢？

觀察圖像，

經(jīng)過觀察，我們不難發(fā)現(xiàn)：x+1的圖像是e^x在x=0處的切線，因此上述公式也叫切線放縮。

我們還可以發(fā)現(xiàn)：隨著橫坐標(biāo)x距離0越來越遠時，兩個函數(shù)圖像的距離也將越來越大；而在橫坐標(biāo)x越來越接近于0時，兩個函數(shù)圖像的距離會越來越小。

因此，同學(xué)們之所以會證明失敗，除了計算錯誤或方法使用錯誤之外，還有一種可能就是：由于上述公式的放縮程度過寬，導(dǎo)致同學(xué)們在放縮時，跨過了待證不等式的松緊程度，進而得出錯誤的式子致使不等式無法證明。

那么如何解決這種問題呢？我們再觀察一下函數(shù)圖像，可以發(fā)現(xiàn)在兩個函數(shù)之間存在著巨大空隙。

因此，我們產(chǎn)生了這樣一個想法：能否在兩者的空隙之間插入一個函數(shù)，使得指數(shù)函數(shù)的放縮式進一步精確呢？

那么，下面是有關(guān)指數(shù)函數(shù)的常用放縮公式，有興趣的同學(xué)們可以在私下里進行證明：

經(jīng)過分類整理之后，可以分成兩種不同情況：分別為：x＜0；x≥0。

將上述各個放縮公式的松緊程度進行比較，可以得到以下五類情況：x＜-3；-3≤x＜-1；-1≤x＜0，0≤x＜1/(e-1)，x≥1/(e-1)。

不難發(fā)現(xiàn)，切線放縮公式的松緊度和其他公式比起來，是相對寬松的一個了！

下面我們將與e^x最為接近的兩個函數(shù)抽取出來，得到目前為止松緊度最緊的放縮公式

但鑒于上述形式背誦難度過大，且

的使用頻率相對較少，并在上述眾多松緊度最緊的放縮公式中，出現(xiàn)次數(shù)和使用范圍都極為有限。故而將該公式刪去，最終將最強放縮公式整理為：

圖像如下圖所示（其中僅e^x的圖像為黑色）

這是在高中階段尚未接觸泰勒公式之前，松緊度最緊且使用頻率相對可觀的指數(shù)放縮公式了。如果能掌握上述公式及其證明，那么接下來在指對函數(shù)的證明中會給同學(xué)們?nèi)缁⑻硪?！希望同學(xué)們能夠從中受益，謝謝大家支持！