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使用分部積分法計算1/(x*ln x)的積分產(chǎn)生的悖論

2023-04-06 14:59 作者:Aromia 0人讀過 | 我要投稿

首先，擺出今天要解決的悖論：對 $%5Cint%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Cln%7Bx%7D%7D%5C%2Cdx%7D$ 使用分部積分法，用 $%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%7Bx%7D%7D$ 作為u，用 $%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D$ 作為dv；那么du就等于 $-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%5E2%7Bx%7D%7D$ ，v就等于 $%5Cln%7Bx%7D$ 。

$%5Cint%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Cln%7Bx%7D%7D%5C%2Cdx%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%7Bx%7D%7D%5Cln%7Bx%7D-%5Cint%7B(-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%5E2%7Bx%7D%7D)%5Cln%7Bx%7D%5C%2Cdx%7D%3D1%2B%5Cint%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Cln%7Bx%7D%7D%5C%2Cdx%7D$

現(xiàn)在，消去左右兩邊相同的東西，我們成功證明了0=1！顯然，這并不成立。

其實(shí)如此的悖論十分常見，如用分部積分法積分 $%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D$ 的時候：

$%5Cint%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%5C%2Cdx%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7Dx-%5Cint%7B(-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D)x%5C%2Cdx%7D%3D1%2B%5Cint%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%5C%2Cdx%7D$

也會出現(xiàn)上述的悖論。

根本來講，這是不定積分的鍋。我們算的是一個不定積分的值，而眾所周知，算完不定積分要加上一個常數(shù)：

$%5Cint%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Cln%7Bx%7D%7D%5C%2Cdx%7D%3D%E4%B8%80%5C%2C%5C%2C%5C%2C%E4%B8%AA%5C%2C%5C%2C%5C%2C%E5%BC%8F%5C%2C%5C%2C%5C%2C%E5%AD%90%2BConstant$ $1%2B%5Cint%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Cln%7Bx%7D%7D%5C%2Cdx%7D%3D%E4%B8%80%5C%2C%5C%2C%5C%2C%E4%B8%AA%5C%2C%5C%2C%5C%2C%E5%BC%8F%5C%2C%5C%2C%5C%2C%E5%AD%90%2BConstant%2B1%3D%E4%B8%80%5C%2C%5C%2C%5C%2C%E4%B8%AA%5C%2C%5C%2C%5C%2C%E5%BC%8F%5C%2C%5C%2C%5C%2C%E5%AD%90%2BConstant$

兩個式子算出來以后所帶的常數(shù)并不相同，所以，也不能直接消去。

如果我們換成計算定積分，就不會發(fā)生這樣的問題了：

$%5Cint%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Cln%7Bx%7D%7D%5C%2Cdx%7D%3D%5B1%5D_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%2B%5Cint_a%5Eb%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Cln%7Bx%7D%7D%5C%2Cdx%7D%3D0%2B%5Cint_a%5Eb%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Cln%7Bx%7D%7D%5C%2Cdx%7D$

$%5Cint%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%5C%2Cdx%7D%3D%5B1%5D_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%2B%5Cint_a%5Eb%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%5C%2Cdx%7D%3D0%2B%5Cint_a%5Eb%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%5C%2Cdx%7D$