01:線性代數(shù)圍繞兩種基本運(yùn)算：向量加法和向量數(shù)乘

02:線性組合，張成的空間與基

縮放第三個向量時，他將前兩個向量張成的空間來回移動，從而掃過整個空間。

線性相關(guān)：

現(xiàn)象：第三個向量落在前兩個向量張成的空間，或兩個向量共線；

總結(jié)：

1. 一組向量中至少有一個是多余的，即移除其中一個而不減小張成的空間。
2. 其中一個向量可以表示為其他向量的線性組合，因?yàn)檫@個向量已經(jīng)落在了其他向量張成的空間中。
3. 所有向量都給張成的空間提供了新的維度，它們就被稱為線性無關(guān)。

03: 矩陣與線性變換

線性變換：

保持網(wǎng)格線平行且等距分布的變換。

符號A：\hat i, \hat j變換后的位置，\vec x：某個向量在變換前的位置，\vec v：這個向量在變換后的位置：圖示請點(diǎn)擊：

組合：

04：矩陣乘法與線性變換復(fù)合的關(guān)系

矩陣乘法要從右向左讀，來源于復(fù)合函數(shù)如f(g(x))。

矩陣乘法：可以看做是基向量，\hat i, \hat j經(jīng)過了M_1，M_2兩次變換。

05：行列式

1. det=x，即將區(qū)域面積變?yōu)閤倍；負(fù)數(shù)位改變了空間的定向，或二維基向量的方向向另一邊改變了。三維空間中代表體積。

ad-bc：a、d代表在x,y方向的伸縮比例。

ad - b*0：即平行四邊形的面積。

徒手計(jì)算行列式的公式：

• 二維

b、c代表在平行四邊形在對角方向上拉伸或壓縮了多少.

• 三維：

例：

兩矩陣的行列式=行列式的乘積，因?yàn)?strong>放縮后的比例都是一樣的

06：逆矩陣、列空間、秩與零空間

秩：變換后（列）空間的維數(shù)；

逆矩陣：A \vec x=\vec v這個變換的逆變換，跟蹤\det v的變換過程即A^{-1}；

逆變換，A^{-1} A = [1,0]^T,[0,1]^T，

列空間： 所有可能的基向量變換后張成的空間（A \vec v）的集合，列空間就是矩陣的列張成的空間。

克拉默法則？

零空間或核：變換后落在原點(diǎn)的向量的集合； 對線性方程組來說，零空間即A{\vec{x}}=[0,0]^T

06+：非方陣，不同維度之間的線性變換

1. 三階方陣，變換為3*2矩陣：這個矩陣的列空間，是三維空間中過原點(diǎn)的二維面。但是，3*2依然是滿秩的，因?yàn)檩斎肟臻g和列空間的維數(shù)相等。3*2矩陣即二維空間轉(zhuǎn)換到三維空間上，3*2即有兩個基向量，每個基向量用三個獨(dú)立的坐標(biāo)表述。2*3反之。
2. 1*2矩陣，點(diǎn)積。

07：點(diǎn)積與對偶

線性變換：數(shù)軸中等距分布的點(diǎn)在變換后依然等距分布。

點(diǎn)積的運(yùn)算可以看作為\vec w，\vec v向另一個向量投影的長度的乘積。那么，為什么可以通過投影計(jì)算呢？

我們在二維坐標(biāo)中，找一個過原點(diǎn)的數(shù)軸，其單位長度與二維坐標(biāo)一致。此數(shù)軸的單位向量\vec u在變換后的位置，可以通過對稱性（對偶）在原二維坐標(biāo)中表示，我們設(shè)為一個1*2矩陣[\vec {u_x}, \vec {u_y}]，然后，二維空間中任意向量\vec {x}，則把二者點(diǎn)積的結(jié)果就是任意向量在數(shù)軸上的坐標(biāo)，與投影相同。

總結(jié)：二維投影到一維的線性變換過程就是橫縱坐標(biāo)分別隨著基量變化的過程。

08：叉積的標(biāo)準(zhǔn)介紹

基向量的順序就是定向的基礎(chǔ)，或右手定則：

叉積的方向就是線性變換后基向量方向的變化，三維中如上圖，用右手定則，指向的方向就是叉積這個矢量的方向，矢量的長度為面積，例：

計(jì)算：

08+：從線性變換的角度看待叉積

90：基變換

$A^{-1} M A \vec x$

\vec x：代表“Jennifer”的形容的向量

A：代表轉(zhuǎn)換為用我們的語言描述的向量（基變換）

M：\forall?某變換矩陣

A ^ {-1}：轉(zhuǎn)換回“Jennifer”語言描述的向量（基變換的逆）

10：特征向量與特征值