????????球冠，是指一個(gè)球面被平面所截后剩下的曲面。

????????球冠的高，是指球冠頂點(diǎn)到截面的距離。

????????下面來(lái)推導(dǎo)球冠的面積。

????????不妨記母線與軸線的夾角為，我們有

????## 這里的計(jì)算方法和計(jì)算球體表面積類似，只是積分上下限變化，也可以用阿基米德那一套去做，不再重復(fù)證明。

????????這里有一個(gè)非常巧妙的結(jié)論。

????????其中為球冠的高。

????## 球冠與截面組成的圖形的體積，又稱球缺，會(huì)放在后面計(jì)算。

????????上圖是一個(gè)球錐（球冠加棱錐側(cè)面），全稱球面棱錐。

????????下面計(jì)算球錐的表面積與體積。

????????根據(jù)球冠面積的公式，得到

????????根據(jù)體積與面積等比例分配的原理，得到

????????我們來(lái)觀察其中等比例分配意味著什么。

????????在扇形面積推導(dǎo)中，我們同樣用到了等比例分配這件事。

????????這里的是扇形的圓心角。

????????那么，我們是否可以認(rèn)為，一個(gè)三維空間內(nèi)的面同樣有角？

????????定義：以錐體的頂點(diǎn)為球心作球面，該錐體在球表面截取的面積與球半徑平方之比為該錐體的立體角。

????????立體角和角度一樣，是一個(gè)無(wú)量綱量。

????????根據(jù)定義，容易得到球冠的立體角為

????????特別的，令

????????得到球面的立體角為

????????據(jù)此，我們改寫(xiě)球冠表面積、球錐體積公式。

????????下面簡(jiǎn)單計(jì)算球冠與截面組成的圖形的體積。

????????如果用高表示，消去，得到