? ? ? Lothar Collatz 在 1930 年代提出，是指對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，則對(duì)它乘 3 再加 1，如果它是偶數(shù)，則對(duì)它除以 2，如此循環(huán)，最終都能夠得到 1。通過前面對(duì)數(shù)列求解的認(rèn)識(shí)，我們可以類似的編寫程序。這里判斷奇數(shù)/偶數(shù)可以用求余函數(shù)mod，判斷可以用if語句，循環(huán)終止是數(shù)列的某項(xiàng)達(dá)到1，可以用while語句。

? ? ? ?上面給出的程序范例供參考。這里假定我們選擇28這個(gè)正整數(shù)（詳見左圖），然后把每一步的操作結(jié)果依次記錄到數(shù)列a中，初始條件就是a(1)=28，其中i是當(dāng)前數(shù)列的長度。我們先用while語句判斷數(shù)列是否達(dá)到了1，如果不等于1，進(jìn)入循環(huán)，按照奇數(shù)和偶數(shù)分類，用if/else來實(shí)現(xiàn)。此時(shí)數(shù)列比原來多了一位，更新i=i+1。從畫圖或者查看工作區(qū)變量都可以看到，a(1)=28時(shí)，a(19)=1，程序正常退出。如果擔(dān)心一直不收斂，可以在while后面加上&&i<100就可以讓程序在第100步停止。為了方便使用，我們可以建立自定義函數(shù)，名字為Collatzfun.m，注意第1行的格式（詳見右圖），這里N是輸入?yún)?shù)，可以在命令窗口輸入Collatzfun(28)回車，就可以得到相同的效果。

? ? ? ? 如果我們想看一下，不同的正整數(shù)最終達(dá)到1需要的步數(shù)，可以再寫一個(gè)m文件來調(diào)用。

? ? ? ?比如我們要看從2到100時(shí)的結(jié)果，先初始化y=2:100，這里我們需要根據(jù)y的數(shù)組元素個(gè)數(shù)來做循環(huán)，length(y)就是返回元素個(gè)數(shù)。對(duì)于y的每個(gè)元素y(i)，調(diào)用Collatzfun得到收斂的數(shù)組tp，我們關(guān)心是經(jīng)過多少步收斂，再用length返回tp的數(shù)組元素個(gè)數(shù)即可，保存在num變量的對(duì)應(yīng)分量中。如右上圖所示，多數(shù)整數(shù)都在40步以內(nèi)收斂到1，有些則需要超過100步。

? ? ? ?結(jié)合自定義函數(shù)，我們可以對(duì)不少有趣的數(shù)論猜想進(jìn)行簡(jiǎn)單的測(cè)試。對(duì)于考拉茲猜想，網(wǎng)上的消息是：大多數(shù)數(shù)學(xué)家都認(rèn)為這是正確的，可以通過計(jì)算機(jī)來檢測(cè)非常龐大的數(shù)字，就目前結(jié)果來看還沒發(fā)現(xiàn)任何反例。