前言：代數(shù)是一片神秘的區(qū)域，里面不僅有需要蠻力越過的艱險，也有需要高（ni）深（xiang）莫（bu）測（dao）的方法才能通過的機關(guān)。在其中旅行固然困難重重，但無意之中，也許會有一些驚人的發(fā)現(xiàn)。一旦你發(fā)現(xiàn)了什么，前面的艱辛仿佛就化作浮云了。

初看上去，求證的結(jié)論非常奇特：f(x)有沒有有理根，似乎與f(0)、f(1)是奇數(shù)還是偶數(shù)沒有什么關(guān)系。但當我們看到這兩條定理時，仿佛思路突然出現(xiàn)了。

我們先設(shè)f(x)的解析式為

顯然有

由f(0)為奇數(shù)可知，a0的所有因數(shù)均為奇數(shù)，不妨設(shè)它的一個不為±1的因數(shù)為p，則由定理1（見第二幅圖）可知，? f(x)的有理根只可能為±1、±p。

但顯然有±1±p為偶數(shù)，由偶數(shù)不能整除奇數(shù)可知，

故±p不是f(x)的有理根（見第二幅圖的第三處標記）。顯然f(1)≠0，故我們只需要驗證–1不是f(x)的根即可。由因式定理可知，f(x)=(x+1)g(x)，則f(1)=2g(1)。這與f(1)為奇數(shù)相矛盾。故–1也不是f(x)的根。

綜上，f(x)沒有有理根。

利用這一結(jié)論，我們可以迅速判斷下面兩個多項式在有理數(shù)域上不可約。

最后需要指出一點：這個結(jié)論是一個多項式?jīng)]有有理根的充分條件，而不是必要條件。

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（頭圖來源見左下角水印）

[1]丘維聲.高等代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2013

By Dr.MRN(F)

2019/8/19