前置知識：高等數(shù)學(極限、定積分)

????????一直以來有一張圖流傳于網(wǎng)絡中：

嗯，就是這個很雷人的圓周率π=4的“證明”。顯然圖中圓周率π采用的是比較樸素的定義，即給定圓的周長與直徑之比。不過，這種定義存在一些瑕疵，何謂“圓的周長”，或者說，如何嚴格地表示圓的周長？事實上，初等數(shù)學對此問題是無能為力的，在初等數(shù)學的范疇內(nèi)所做的最多只能是循環(huán)論證。如果能說清楚這個定義，就能容易地指出圖中的錯誤了。

????????嚴格的定義方式應該是利用曲線積分來表示。設給定圓的方程為x2+y2=1，我們考察其在第一象限內(nèi)的弧l的長s，然后只需要對結果乘以2即可。

????????這樣，圓周率π就定義為方程sin(x)=1最小正根的二倍，而三角函數(shù)的定義可以脫離幾何直觀，從極限和級數(shù)的角度出發(fā)。這就是圓周率π的嚴格定義，至于其數(shù)值大小可以利用數(shù)值方法進行近似計算。

????????回過頭來說說，一開始那個雷人的證明錯在哪了呢？實際上，這里面對距離的定義是與我們一般習慣的認知不同的。這里面的弧微分變成了

而定積分的定義依賴于極限，這樣就存在了一個問題，ds'與ds是否存在高階無窮小的誤差呢？一旦存在，無窮多個無窮小的結果就未必是無窮小，這兩種算法的誤差就體現(xiàn)出來了。實際上結果也告訴我們了，這個高階無窮小的誤差的確是存在的。

????????那是不是說π=4就完全不對呢？也不見得。想一想，我們定義的Euclidean空間究竟是什么呢？首先Euclidean空間是一個n維線性空間，然后在它上面定義了一種距離(2-范數(shù))的概念。我們從生活經(jīng)驗出發(fā)，將平面上的距離默認地定義成

而實際上，距離可以有其他的定義方式。而在其中的某些定義方式下，就可能計算出π=4這樣的結果。

????????向量的范數(shù)是一種對應法則，它將n維向量x=(x1,x2,…,xn)映射成一個實數(shù)。它滿足三條性質：

????????一種范數(shù)定義為

稱之為p-范數(shù)，這時，三角不等式成為著名的Minkowski不等式。當p取一些特殊值時就有

顯然，2-范數(shù)(也叫Euclidean范數(shù))就是我們熟悉的對距離的定義。另外

其中m是向量x中非零元素的個數(shù)。0-范數(shù)的性質不夠好，一般不用它來定義距離。

????????如果某個線性空間中定義了一種范數(shù)，就稱之為賦范線性空間或距離空間。用2-范數(shù)定義的距離稱為Euclidean距離，定義了2-范數(shù)的線性空間就是Euclidean空間。用1-范數(shù)定義的距離稱為Manhattan距離，平面上表示為

這時，最前面的那張圖的近似方法就是完全正確的了?？梢则炞C

這就是說，在定義了1-范數(shù)的距離空間中，“圓周率”π1=4。

????????當然了，在定義了1-范數(shù)的距離空間中，“圓”的定義(從到給定點距離相等的點集這個角度出發(fā))可能需要發(fā)生變化，改為

這是合理的。不過仍然容易驗證“圓周率”π1=4。(留給觀眾同學自行驗證)

????????多說一點關于Manhattan距離的性質和應用。相比于Euclidean距離，Manhattan距離的性質不夠好。Manhattan距離的幾何直觀含義是以兩點連線為斜邊的直角三角形兩直角邊之和。但顯然這個直角三角形的構造不是唯一的。于是，Manhattan距離的大小與坐標軸的選取密切相關。Manhattan距離被應用于計算機圖形學中，因為對于由一個個方格組成的像素點陣來說，采用Manhattan距離描述距離這一概念比采用Euclidean距離更具有優(yōu)越性。

????????另外，你完全可以不認可這個證明，因為上述所有的討論其實都是在距離的定義上動的手腳。畢竟，我們生活在一個Euclidean空間中，最自然的定義圓周率的方法一定是建立在對Euclidean空間的認識之上的。