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第一部分：「立體展開」解題思路、真題解析

1．「立體展開」解題思路：「特征面」法

2．經(jīng)典「正方體展開題」難題解析之一：從「特征面」優(yōu)先入手

3．經(jīng)典「正方體展開題」難題解析之二：最典型的「3×2」類正方體展開題

4．經(jīng)典「正方體展開題」難題解析之三：典型的「熟能生巧」題

5．經(jīng)典「正方體展開題」難題解析之四：注意2面組合的規(guī)律

6．經(jīng)典「正方體展開題」難題解析之五：「熟能生巧」即可極速解出此題

7．經(jīng)典「正方體展開題」難題解析之六：骰子面的特點(diǎn)

8．變形「立體展開題」難題解析之一：從立方體反推展開面的形狀

9．變形「立體展開題」難題解析之二：注意夾角的特征

10．變形「立體展開題」難題解析之三：特殊立方體展開圖的特點(diǎn)

11．變形「立體展開題」難題解析之四：三角錐的特點(diǎn)

12．變形「立體展開題」難題解析之五：從面向角度確定「特征面」

「立體展開」題顧名思義，其題干一般是立體圖形展開后的外表面，4個(gè)選項(xiàng)為多個(gè)面（如前、上、右3個(gè)面）的視圖，要求考生根據(jù)題干推理出符合要求的選項(xiàng)。

這類題目以正方體為主，偶爾也會考察其他立體圖形，或者通過正方體本身來推測展開的表面。此類題目約占「圖形推理」題量的15%，一般每套卷子至少有1道。

一、立體展開解題思路：「特征面」法

「立體展開」題顧名思義，其題干一般是立體圖形展開后的外表面，4個(gè)選項(xiàng)為多個(gè)面（如前、上、右3個(gè)面）的視圖，要求考生根據(jù)題干推理出符合要求的選項(xiàng)。

這類題目以正方體為主，偶爾也會考察其他立體圖形，或者通過正方體本身來推測展開的表面。在公考中，此類題目的題量較少，約占15%左右。

「正方體展開題」的難度較低，但很多考生不能掌握解題要領(lǐng)，導(dǎo)致其平均正確率不到60%。各位小伙伴一定要保證此類題全部做對。其解題思路非常簡單，概括起來就是兩句話：

（1）如果正方體的面不是「3×2（3類面，每類面2個(gè)）」的組合，就找出「特征面」，并通過觀察「特征面」和相鄰面的組合（必要時(shí)可通過旋轉(zhuǎn)試卷、簡單作畫等方式）快速鎖定選項(xiàng)。

（2）如果正方體的面是「3×2」的組合，使用「切橡皮法」是非?？旖莘奖愕?。

當(dāng)然，「3×2」的組合也可以用（1）的方法來做，只不過需要找兩次面，花費(fèi)時(shí)間更多一些。各位小伙伴們可以根據(jù)自身情況，選擇適合的方法。

二、經(jīng)典「正方體展開題」難題解析之一：從「特征面」優(yōu)先入手

【2018國考地市級卷75題／省級卷80題】下圖給定的是正方體紙盒的外表面，下面哪一項(xiàng)能由它折疊而成？

正確答案為：
（A）答案A?
（B）答案B
（C）答案C?
（D）答案D

正確率52%，易錯(cuò)項(xiàng)B

解題思路：本題面的組合為「3+2+1」型，只有C、D選項(xiàng)的「前」面，即「空白處為平行四邊形」的面具有唯一性，如圖：

因此優(yōu)先從「只有一個(gè)面」的平行四邊形面入手，考慮CD能否符合要求。除非確定CD都不能折成，否則在此之前無需考慮AB的可能性。

C中，把圖片（試卷）順勢針旋轉(zhuǎn)90°后，該「特征面」即成為「前」面：

可以發(fā)現(xiàn)展開圖折成的「右」面和C不一致，排除。

D中，該「特征面」可直接作為正方體的「前」面：

可以發(fā)現(xiàn)展開圖折成的「上」、「右」兩面和D均一致，正確。

像本題這樣既有對應(yīng)多個(gè)面又有只對應(yīng)1個(gè)面的正方形面的話，就一定要在「特征面」——即只對應(yīng)1個(gè)面的正方形面入手。

如果不從「特征面」入手，該題的難度會驟然提升，思考量也會增加很多，從時(shí)間上說就失去了解題的意義。

三、經(jīng)典「正方體展開題」難題解析之二：最典型的「3×2」類正方體展開題

【2017國考地市級卷76題／省級卷81題】左邊給定的是正方體紙盒的外表面，下面哪一項(xiàng)能由它折疊而成？

正確答案為：
（A）答案A?
（B）答案B
（C）答案C?
（D）答案D

正確率51%，易錯(cuò)項(xiàng)C

本題為最典型的「3×2」類正方體展開題，也是此類題目中難度最高的一種，極少出現(xiàn)。

解題思路：三個(gè)字——「橡皮法」。

用中性筆在事先準(zhǔn)備好的正方體小橡皮上畫外表面的圖案即可，這也是最簡便的方法。當(dāng)然，也可以用「特征面」法去解題：

A中2個(gè)「四分之一黑三角」的面非常明顯，通過組合可以排除：

B涉及的組合較復(fù)雜，難度較高。首先從正面角度能夠快速排除可能性：

將圖片旋轉(zhuǎn)180°后：

即從兩個(gè)角度考慮B的「上」+「前」2面組合均和展開圖無法對應(yīng)，排除。

C中2個(gè)帶有「二分之一黑三角」的面組合較明顯，優(yōu)先考慮兩者組合：

顯然「左」「下」2個(gè)面的組合和C不同，排除。

D選項(xiàng)較為簡單，旋轉(zhuǎn)180°后，直接通過三個(gè)面組合處的標(biāo)識即可識別：

很明顯可看出原展開面和D的箭頭所指處一致，正確。

「3×2」的正方體展開題難度極高。從解題步驟可以看出，如果不能很熟練地掌握每個(gè)面的變化規(guī)律，最好的方法還是用「橡皮法」，畢竟本題ABC的排除方法都不那么簡單。

本題不用「橡皮法」亦可解出，但對考生的熟練度要求很高。

四、經(jīng)典「正方體展開題」難題解析之三：典型的「熟能生巧」題

【2016國考地市級卷75題／省級卷78題】左邊給定的是正方體紙盒的外表面，下面哪一項(xiàng)能由它折疊而成？

正確答案為：
（A）答案A?
（B）答案B
（C）答案C?
（D）答案D

正確率55%，易錯(cuò)項(xiàng)B

解題思路：本題6個(gè)面屬于「2+1+1+1+1」型，等腰直角三角形面有2個(gè)，其他面都只有1個(gè)，可通過「特征面」快速排除干擾項(xiàng)。

A通過旋轉(zhuǎn)圖片（試卷）可一眼排除：

B通過分析不同面之間相對關(guān)系可快速排除：

顯然黑面和非等腰直角三角形面在展開圖中為上下面相對關(guān)系，不相鄰，和B不一致，排除。

C通過旋轉(zhuǎn)圖片（試卷）可一眼排除：

D中兩個(gè)等腰直角三角形面有相鄰關(guān)系，為方便觀察，可將其通過旋轉(zhuǎn)變換到另一側(cè)：

將展開圖中「后」面經(jīng)過兩次水平翻轉(zhuǎn)和「左」面拼在一起后，可發(fā)現(xiàn)「上」、「左」、「后」3個(gè)面的組合和D一致，正確。

本題難點(diǎn)有二：一是考生能否熟練通過鎖定「特征面」和「旋轉(zhuǎn)圖片（試卷）」的方法快速排除干擾項(xiàng)，二是能否快速把展開圖的「后」面和D選項(xiàng)對應(yīng)起來。

越熟悉「立體展開」的特點(diǎn)，就能越快做出這道題。

五、經(jīng)典「正方體展開題」難題解析之四：注意2面組合的規(guī)律

【2015國考地市級卷74題／省級卷79題】左邊給定的是正方體紙盒的外表面，下面哪一項(xiàng)能由它折疊而成？

正確答案為：
（A）答案A?
（B）答案B
（C）答案C?
（D）答案D

正確率43%，易錯(cuò)項(xiàng)D

解題思路：本題6個(gè)面屬于「2+1+1+1+1」型，小等腰直角三角形面有2個(gè)，其他面都只有1個(gè)。

A中「前」「右」2面均為「特征面」，將展開圖向左旋轉(zhuǎn)90°進(jìn)行核對，符合要求：

B可以一眼排除：

C可以一眼排除：

D選項(xiàng)通過觀察面的組合可以排除：

因此A正確。

本題難點(diǎn)在于A選項(xiàng)3個(gè)面組合的對應(yīng)關(guān)系較難看出，考生需要熟練掌握「垂直變換」、「水平變換」與折疊方法的關(guān)系。熟悉此類題型后，BCD均可以快速排除。

六、經(jīng)典「正方體展開題」難題解析之五：「熟能生巧」即可極速解出此題

【2013國考80題】左邊給定的是正方體紙盒的外表面，下面哪一項(xiàng)能由它折疊而成？

正確答案為：
（A）答案A?
（B）答案B
（C）答案C?
（D）答案D

正確率69%，易錯(cuò)項(xiàng)D

本題6個(gè)面都是特征面，難度較低。ABD均可一眼排除：

C選項(xiàng)符合要求，正確：

該正方體的特征面非常明顯，對此類題型足夠熟練的考生能夠迅速做出。

本題唯一需要注意的是梯形面的翻轉(zhuǎn)規(guī)律。

七、經(jīng)典「正方體展開題」難題解析之六：骰子面的特點(diǎn)

【2012國考85題】左邊給定的是正方體紙盒的外表面，下面哪一項(xiàng)能由它折疊而成？

正確答案為：
（A）答案A?
（B）答案B
（C）答案C?
（D）答案D

正確率54%，易錯(cuò)項(xiàng)C

解題思路：本題6個(gè)面對應(yīng)骰子的6種點(diǎn)數(shù)，都是「特征面」。

A符合要求：

B中「1點(diǎn)」和「4點(diǎn)」不相鄰，直接排除：

C中3面關(guān)系和展開圖不一致：

D一眼可排除：

該題依然是非常考驗(yàn)考生熟練度的題目，對此類題掌握得越熟練，這道題解起來就越輕松。

一定要注意骰子兩個(gè)面組合的特征。

從上面6道題可以看出，只要對圖形的「旋轉(zhuǎn)」和「特征面」的組合規(guī)律足夠熟悉，經(jīng)典「正方體展開題」的難度并不高。

此類題目在公考中的正確率并不是很高，反映了很多考生的熟練度不夠。各位小伙伴可以著重加強(qiáng)練習(xí)，甚至可以常備一塊正方形橡皮，通過觀察不同面的特點(diǎn)，理解正方體展開圖的規(guī)律。

下面的題目為變形「立體展開題」。此類題目包括其他立方體的展開面、通過立方體反推展開面的形狀等，難度較低。

八、變形「立體展開題」難題解析之一：從立方體反推展開面的形狀

【2016423聯(lián)考】下圖為正方體紙盒折疊后的情況，哪一項(xiàng)能符合它展開后的外表面？

正確答案為：
（A）答案A?
（B）答案B
（C）答案C?
（D）答案D

正確率76%，易錯(cuò)項(xiàng)B

本題秒排除ABD，即可確認(rèn)C正確。

本題通過第一圖2個(gè)「特征面」的組合即可排除3個(gè)錯(cuò)誤答案。

「反推展開面」的題相對來說更加直觀，也更加容易根據(jù)特征面解析。

九、變形「立體展開題」難題解析之二：注意夾角的特征

【2016山東省考69題】右邊哪一項(xiàng)不可能是左邊正方體紙盒展開圖？

正確答案為：
（A）答案A?
（B）答案B
（C）答案C?
（D）答案D

正確率63%，易錯(cuò)項(xiàng)A

本題屬于「從正方體反推展開圖」類題目，且是「選非題」，因此只需考慮題干3個(gè)面之間的相互關(guān)系，無需考慮其他面的情況：

因此D不可能是左邊的展開圖，正確。

本題需要注意的是「選非題」的特點(diǎn)，即找出明顯錯(cuò)誤的選項(xiàng)，不要太在意疑似錯(cuò)誤項(xiàng)。

本題的「特征」就是「夾角」。

十、變形「立體展開題」難題解析之三：特殊立方體展開圖的特點(diǎn)

【2016上海省考103題】左邊給定的是正方體紙盒的外表面，右邊哪一項(xiàng)能由它折疊而成？

正確答案為：
（A）答案A?
（B）答案B
（C）答案C?
（D）答案D

正確率73%，易錯(cuò)項(xiàng)C

解題思路：注意「尖面」和「正方形面」的組合情況，如圖：

因此D正確。

「尖面+正方形面」的組合只有3類，不符合這3類的都不能折成。

本題涉及的立方體比較有特色，但這道題難度很低，因?yàn)楦蓴_項(xiàng)非常容易排除。

十一、變形「立體展開題」難題解析之四：三角錐的特點(diǎn)

【2018浙江省考第5題】左邊給定的是正方體紙盒的展開圖，右邊哪一項(xiàng)能由它折疊而成？

正確答案為：
（A）答案A?
（B）答案B
（C）答案C?
（D）答案D

正確率70%，易錯(cuò)項(xiàng)D

解題思路：本題題干是一個(gè)「三角錐」展開面。三角錐相比起正方體面數(shù)更少，因此這類題難度更低，只需要考慮4個(gè)選項(xiàng)對應(yīng)的2個(gè)面的關(guān)系即可。

A中直線面和黑色面相鄰，由于直線指向和展開圖不同，為方便觀察，將展開圖旋轉(zhuǎn)，可一眼排除：

B中直線面和灰色面相鄰，由于直線指向和展開圖不同，為方便觀察，同樣將展開圖旋轉(zhuǎn)，發(fā)現(xiàn)其符合要求：

C一眼可以排除：

D和A、B的解題方法一樣，先調(diào)整直線面的角度。旋轉(zhuǎn)之后可直接排除：

因此B正確。

題干中白、灰、黑三個(gè)面都沒有特征標(biāo)志，無法通過三者之間的關(guān)系確定正確答案，但直線面的直線角度是確定的，通過直線的方向能夠確定各面之間的關(guān)系。

解出該題的關(guān)鍵是最有特征的「直線面」。

十二、變形「立體展開題」難題解析之五：從面向角度確定「特征面」

【2011424聯(lián)考】左邊給定的是正方體紙盒的展開圖，右邊哪一項(xiàng)能由它折疊而成？

正確答案為：
（A）答案A?
（B）答案B
（C）答案C?
（D）答案D

正確率51%，易錯(cuò)項(xiàng)D

從選項(xiàng)中三角錐的2面組合入手解題。

A一眼可以排除：

B的2面關(guān)系，通過展開圖旋轉(zhuǎn)180°對比可以排除：

C與展開圖向右旋轉(zhuǎn)90°的2面關(guān)系一致，正確：

D一眼可以排除：

因此C選項(xiàng)正確。

需注意題干中第4個(gè)面從三個(gè)角度看都是一樣的，沒有唯一性。

本題需要靈活利用旋轉(zhuǎn)等方法，確定選項(xiàng)2面的組合能否和題干對應(yīng)。

總結(jié)：「變形類立體展開題」分為「由立方體反推展開圖」和「特殊立體圖形」兩類題型，這兩類題型都較為簡單。

「由立方體反推展開圖」的題型，由于能夠很直觀地觀察出不同面之間的關(guān)系，因此只要通過觀察題干中的「特征面」，很容易確定正確選項(xiàng)。

「特殊立體圖形」的題型，「特征面」較為明顯，相對之間關(guān)系非常容易確定，其難度比「正方體」要低很多，也很容易確定正確選項(xiàng)。