【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)Ep3】每天三道題（數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線性代數(shù)）
一道數(shù)列題，結(jié)論要作為常識(shí)識(shí)記。
解析幾何這道題，比較有趣，結(jié)論也比較有用，順便復(fù)習(xí)一下三角形的性質(zhì)，大家自己畫圖會(huì)清晰一點(diǎn)。
預(yù)備知識(shí)：
在三角形中有重心、外心、垂心、內(nèi)心、旁心這5個(gè)重要的點(diǎn)。
重心：三角形的三條中線的交點(diǎn)，各中線被這點(diǎn)分成比為2：1的兩部分；
外心：三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，到三角形三頂點(diǎn)距離相等，外接圓圓心；
垂心：三角形的三條高的交點(diǎn)，頂點(diǎn)、垂足、垂心7個(gè)點(diǎn)可得到6個(gè)四點(diǎn)圓；
內(nèi)心：三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，到三角形三邊的距離相等，內(nèi)切圓圓心，三角形面積=（內(nèi)切圓半徑*三角形周長）/2；
旁心：三角形的任意兩角的外角平分線和第三角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，到三角形三邊所在直線的距離都相等，以此點(diǎn)為圓心且以到三角形一邊所在直線的距離為半徑的圓分別切三角形一邊及其余兩邊的延長線，三角形有三個(gè)旁心。
數(shù)域：設(shè)F是至少包含兩個(gè)數(shù)的數(shù)集。如果F中任二數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不等于零）均仍屬于F，則稱F是一個(gè)數(shù)域。
參考資料：
《數(shù)學(xué)分析教習(xí)題演練》（周民強(qiáng) 編著）
《空間解析幾何》（黃宣國 編著）
《初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教程（九年級(jí)）》（丁保榮 主編）
《高等代數(shù)習(xí)題集》（楊子旭 編）
數(shù)學(xué)分析——
例題（來自《數(shù)學(xué)分析教習(xí)題演練（周民強(qiáng) 編著）》）：設(shè)數(shù)列{an}滿足an/n趨近于0，則lim（max{a1，a2，……，an}/n）=0。
思路——
an/n趨近于0，即對(duì)ε>0，存在自然數(shù)N1，當(dāng)n>N1，|an/n|<ε，即|an|<nε；
對(duì)于max{a1，a2，……，aN1}為一個(gè)常數(shù)，數(shù)列{max{a1，a2，……，aN1}/n}是一個(gè)無窮小，即對(duì)ε>0，存在自然數(shù)N2，當(dāng)n>N2，|max{a1，a2，……，aN1}/n|<ε；
當(dāng)n>N1，|max{aN1+1，……，an}/n|<nε/n=ε；
|max{a1，a2，……，an}|=max{|max{a1，a2，……，aN1}|，|max{aN1+1，……，an}|}
對(duì)ε>0，存在自然數(shù)N=max{N1，N2}，n>N，|max{a1，a2，……，an}/n|=max{|max{a1，a2，……，aN1}/n|，|max{aN1+1，……，an}/n|}<ε，即lim（max{a1，a2，……，an}/n）=0。
解析幾何——
例題（來自《空間解析幾何（黃宣國 編著）》）——三角形ABC中，O是外心，G是重心，H是垂心，求證：
a.OG=（OA+OB+OC）/3；OH=OA+OB+OC；
b.對(duì)銳角三角形ABC，弦AB分三角形ABC的外接圓圓周為1：2的兩段圓弧，點(diǎn)N是小圓弧AB的中點(diǎn)。求證：CN垂直于OH。
證明——
a.
（1）
設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則AD為BC邊上的中線，G分AD長度比為2：1的兩部分，即|AG|：|GD|=2：1，則AG=2AD/3；
又AD=（AB+AC）/2，則AG=（AB+AC）/3；
由1，2，OG=OA+AG=OA+（AB+AC）/3=OA+[（OB-OA）+（OC-OA）]/3=（OA+OB+OC）/3。
（2）
先用平面幾何知識(shí)證明，O，G，H三點(diǎn)共線，作出三角形外接圓及其直徑BOE，有O為BE中點(diǎn)，OH與AD的交點(diǎn)記為G'；
又D為BC中點(diǎn)，則OD為三角形BCE平行于EC的中位線，則OD=EC/2，OD平行于EC；
由圓的性質(zhì)可知，AE垂直于AB，CE垂直于CB；
H是垂心，則CH垂直于AB，AH垂直于CB；
則AE平行于CH，CE平行于AH，則四邊形AECH為平行四邊形；
于是AE=HC，AH=EC；
于是OD=EC/2=AH/2；
又OD垂直于BC，則OD平行于AH，于是∠G'AH=∠G'DO，∠G'HA=∠G'OD，則三角形G'AH相似于三角形G'DO；
于是DG'/AG'=OD/HA=OG'/HG'=1/2，故而G'記為G，三角形重心，且，OG/HG=1/2。
O，G，H三點(diǎn)共線，則OH=3OG=OA+OB+OC。
b.先把題設(shè)條件展開，再相互聯(lián)系——
CH=OH-OC=OA+OB；
由題，∠BON=∠AON=60°，又OB=ON=OA，易得三角形BON和三角形AON都是等邊三角形，則四邊形AOBN為梯形；
ON=OA+OB=CH；
當(dāng)ON與CH不重合時(shí)，四邊形ONHC為平行四邊形，又ON=OC，則，四邊形ONHC為梯形，CN垂直于OH；
當(dāng)ON與CH重合時(shí)，則OH=0，CN垂直于OH。
高等代數(shù)——
例題（來自《高等代數(shù)習(xí)題集（楊子旭）》）：
a.設(shè)F是至少含有兩個(gè)數(shù)的數(shù)集。證明：如果F中任二數(shù)的差與商（除數(shù)不為零）仍屬于F，則F必為數(shù)域。
b.設(shè)F是至少含有兩個(gè)數(shù)的數(shù)集，且F對(duì)加法與乘法封閉。證明：如果對(duì)F中任意數(shù)a，-a也屬于F；而且當(dāng)a不為0時(shí)，a^（-1）也屬于F，則F必為一個(gè)數(shù)域。
證明——
a.
設(shè)a，b為F中任二數(shù)。由于F中任二數(shù)的差與商仍屬于F，故a-a=0，0屬于F；
當(dāng)b不為0時(shí)，b/b=1，1屬于F，1/b屬于F；
0-b=-b屬于F；
則，a+b=a-（-b），a*b=a/（1/b）都屬于F，即F對(duì)加、乘也是封閉的，從而F作成一個(gè)數(shù)域。
b.只需證F對(duì)減法與除法也封閉即可：
對(duì)于a，b屬于F，由于-b屬于F，則a-b=a+（-b）屬于F；
當(dāng)a不為0時(shí)，由于a^（-1）屬于F，而F對(duì)乘法封閉，故b/a=b*a^（-1）屬于F，即F對(duì)減法與除法也封閉，故F作成數(shù)域。
就到這里！
