高中學數(shù)學競賽的時候初次接觸了群論，當時是在組合計數(shù)里看到的，其實主要是講的波利亞計數(shù)定理，雖然直到目前我 也還沒看懂這個定理，不過早晚要看。群論是抽象代數(shù)的一支，當時看的我云里霧里的，不過接觸的次數(shù)多了之后逐漸就明白了，它定義的內(nèi)容是一種有運算的集合，抽象代數(shù)就是研究帶有一些特殊運算的集合的結構。不同于平常我們所了解的運算，數(shù)的加減乘除等只是關于數(shù)集的運算，如果把加減乘除換成其他運算，數(shù)集換成其他集合，它也構成一種代數(shù)，抽象代數(shù)就來研究這些代數(shù)的共性等等。不過我還沒看多少，很想知道的是怎樣用它來解釋為什么尺規(guī)作圖不能三等分角，為什么五次以上的多項式方程沒有求根公式。其實不只有群，還有環(huán)、域、模，環(huán)的一個例子是整數(shù)，里面的理論和數(shù)論里涉及到的很接近，估計可以說整數(shù)環(huán)是一個很典型的例子吧，還有多項式環(huán)類似。域的話全體實數(shù)、全體復數(shù)都是域，模我還不清楚是什么。書上有一句話說，對稱即群，并舉了兩個例子，一個是平面圖形的對稱，另一個是對稱多項式。這兩個例子在高中數(shù)學競賽中就有所接觸了，波利亞計數(shù)定理似乎就是解決具有一定對稱性的圖形的計數(shù)問題，化學的分子結構啥的似乎經(jīng)常要利用這個定理。對稱多項式是在以前的代數(shù)書里看到的，講到了一些特殊的多項式，具有特殊的運算性質。到了大學學了高等代數(shù)，關于多項式的部分有提到對稱多項式，以及一些神奇的性質。首先，平面圖形的對稱的定義還是比較簡單的，嚴謹?shù)卦捯靡恍┐鷶?shù)技巧，所以只簡單地說，平面的圖形通過兩種方式運動后和自身重疊，就說這種運動是一個對稱，這兩種運動一種是繞某一點旋轉一定角度，另一種是以平面內(nèi)一條直線為軸翻轉180度，這兩種運動都是等距變換，也就是保持形狀不變。以正三角形為例，它有三條對稱軸，所以有三種翻轉對稱，旋轉可以是0度、120度、240度，所以一共它有六種對稱。我們把這六種對稱看成一個集合，并施加一種復合運算，比如先旋轉120度再沿一條對稱軸翻轉，這樣得到的結果是沿另一條對稱軸翻轉，大家算一算就可以知道，這六種操作任意兩種的復合都是這六種之一，這樣我們就定義了這個集合里的一種運算。同時這種運算還滿足一些性質，比如結合律、交換律、單位元、逆變換，群就是運算滿足一些特殊性質的集合和運算的統(tǒng)一體，它的定義可以在網(wǎng)上搜一下，因為這里不方便打符號，簡單的說就是滿足結合律、單位元、逆元三個條件。如果初次接觸，而且也沒學過線性代數(shù)等高等數(shù)學的內(nèi)容，可能不太理解為什么沒有交換律，交換律其實不一定需要成立的，這樣群就涵蓋了更多的代數(shù)結構，矩陣就是一個很好的例子，雖說矩陣在數(shù)乘和乘法加法的運算下不僅僅是一個群，但是單就乘法來說它就不滿足交換律。滿足交換律的群又叫做Abel群或交換群。像上面的平面圖形的對稱群就可以說是Abel群，但是多項式的對稱就不是了。關于對稱與群的關系，應該可以說是，以對稱做為運算的集合的代數(shù)結構是群，任何群都可以找到一種以對稱作為運算的同構的群。這里說到的同構就是指兩個群里不僅元素可以做一一對應，同時也滿足了他們的運算也與元素協(xié)同著一一對應。這些內(nèi)容的證明還需要更深入地探索，我也還不了解太多，繼續(xù)看書去了。