一、準備工作

1.說起直線

一提線性，大家會想到什么？我想最樸素也最自然的想法就是一根直線，一個一次函數(shù)。那直線或者說一次函數(shù)的本質又是什么呢？ 一條直線之所以是直的而不是曲的與其本身的性質有關系。想象一下，如果一堆點想要乖乖的排成直線，那就需要它們在同一個角度沖著同一個方向去排列。我們知道在一次函數(shù)中k決定了其斜率的大小，而一次函數(shù)的結構是kx+b，二次函數(shù)是ax2+bx+c，兩者的區(qū)別在于二次函數(shù)有x*x，或者說有兩個

文字

之間的相乘，我們一般叫其

乘法

。ps：而k*x這種

數(shù)

與

文字

之間的乘法叫做

數(shù)量乘法

。所以就是因為只有數(shù)乘和加法，所以這個才是直的而不是彎的。

2.運算的定義

一提線性，那么其有關的運算無非就這幾種種：“+”（類加法），“·”（數(shù)乘），“×”（類乘法）。而其中類加法與類乘法滿足封閉性，類加法滿足交換、結合、存在單位0、有逆元的四個性質，數(shù)乘滿足結合、單位1，對類加法的分配，對加法的分配。 既然有運算了，那么運算的對象就必不可少。上文中的文字是運算的對象，而文字不局限于一個數(shù)，它可以是矩陣，可以是多項式，也可以是一個有序數(shù)組，甚至是滿足上面性質的抽象符號。而將數(shù)乘與類加法組合起來，形如k1x1+k2x2+……+knxn，我們將其稱為

線性組合

。

二、圖形與映射

1.映射

映射是一種法則，它把一個東西經(jīng)過一系列變換到了另一個東西，其中函數(shù)就是一種映射，它是由自變量x映射到因變量y。也就是說，每一個x如果對應了唯一的一個y，那么這個f就是映射 有一種特殊的映射，它不光每一個x可以對應唯一的一個y，反過來每一個y都可以對應唯一的一個x，即

x與y一一對應

，那么我們稱這種映射為

雙射

。 2.將圖形間的等價

圖形可以放大縮小，可以旋轉平移，這些都可以看成一種映射。 如果說將圖形進行映射，那么映射后的圖形和原圖形是什么關系？在說是什么關系之前我想應該說一下都有什么關系，但是受限于篇幅，這里只說一下

等價關系

：滿足自反性、對稱性和傳遞性。

自反性：A≌A

對稱性：如果A≌B,則B≌A

傳遞性：如果A≌B,B≌C,則A≌C

ps：這里的“≌”為一個抽象的符號，不一定是全等，可以看成為一堆映射的集合，而這些映射都有一些公共的特點（其實這個就是關系），所以也可以這么看：

自反性：存在一個映射f∈α,使得A＝f（A）,其中α為一種關系（映射的集合），下面α同樣。

對稱性：如果A＝f（B）,則B＝g（A）,f、g∈α

傳遞性：如果A＝f（B）,B＝f（C）,則A＝h（C）,f、g、h∈α 如果滿足上述三條，則這個關系為

等價關系

所以如果將旋轉看成一種映射，旋轉角度不同，映射不同，而這一群映射共同組成了一種關系，就是你是由我旋轉得到的，這個就是一種關系。其實這些映射的集合就構成了一種等價關系，為了讓讀者方便易懂，下面我們不太嚴謹?shù)恼f一下證明。

其實證明等價只需證那三條就行了。

自反性：有一個映射是旋轉360°，可以讓原來的圖形保持各種因素不變 對稱性：如果一個圖形A順時針轉了a°變了另一個圖形B，我們可以將B再逆時針旋轉a°變成A 傳遞性：旋轉兩次的過程可以合并成為旋轉一次 如此可見，旋轉前后的圖形確實是有等價。同時我們也可以證明平移變換前后的圖形也是等價，從而

全等是一種等價關系

，即

自反性：A≌A

對稱性：如果A≌B,則B≌A

傳遞性：如果A≌B,B≌C,則A≌C

三、同構與全等

1.同構的定義

對于兩個線性空間V,V'，如果有一個雙射f：V→V'，且可以保持線性關系，即f（a+b）＝f（a）+f（b），f（ka）＝kf（a），a、b∈V，則稱V與V'同構。 可以看出，f就像一面鏡子，照鏡子的人是V，而鏡子中的像是V'，你的鼻子眼睛等等組成了臉，映到了鏡子中的鼻子眼睛等等也組成了臉。可見同構間的兩個東西都具有同樣的性質，雙方的鼻子眼睛等等都能構成臉。 2.照鏡子的圖形

同樣，如果把一個圖形看成一個V的話，那么我們可以將全等看做成一個圖形在照鏡子，而鏡子中的像與原圖形全等。全等后的圖形可能會平移，可能會旋轉，但是他們的結構和性質是類似的，所以

幾何中的全等又何嘗不是一種同構呢。

將幾何與代數(shù)看做一種東西，這件事其實在解析幾何上就已經(jīng)是這么做的了。那些抽象的代數(shù)就相當于是凝練的幾何，雖然失去了可觀察的性質，但是他卻是接近不可觀察圖形的鑰匙。