寫一些相關(guān)的補(bǔ)充內(nèi)容、FAQ、趣聞等。雖然熱度可能過了，不會被很多人看到。

1. 希爾伯特在這個(gè)故事里簡直像個(gè)“反派”，被橫空出世的哥德爾打倒。其實(shí)不是這樣的。希爾伯特是那個(gè)年代最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他提出的希爾伯特二十三問匯集了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)最重要的發(fā)展方向，為數(shù)學(xué)發(fā)展指明道路。對這23個(gè)問題及其發(fā)展感興趣的同學(xué)，可以去知乎搜相關(guān)問題。

希爾伯特本人其實(shí)很謙遜。數(shù)學(xué)上有一類重要的空間稱為希爾伯特空間，但這個(gè)名字并不是他本人起的，他本人反倒很不好意思，稱之為“那個(gè)”空間。

另一則逸聞是，有一次小班研討，學(xué)生引用了一個(gè)定理。希爾伯特說，“這個(gè)定理真妙啊，是誰證明的？”學(xué)生說，“是您”。

2. 哥德爾和愛因斯坦是忘年交，兩人常在普林斯頓校園內(nèi)散步。

3. 一個(gè)常見問題：我們證明了“命題P為真但不能被證明”，這難道不是一種對命題P的證明嗎？注意我們的證明假設(shè)了公理系統(tǒng)一致，所以其實(shí)我們證明的是“若假設(shè)公理系統(tǒng)一致，則存在命題P為真，但不能被公理系統(tǒng)本身證明”。由于我們不知道公理系統(tǒng)是否一致，所以這相當(dāng)于做題的時(shí)候額外加了條件，當(dāng)然不能算是在原本的公理系統(tǒng)內(nèi)證明。

一個(gè)更進(jìn)一步的詰難是這樣的：如果公理系統(tǒng)一致則p為真，如果公理系統(tǒng)不一致則根據(jù)爆炸原理p也為真，這不就是在公理系統(tǒng)內(nèi)證明了p為真嗎？其實(shí)，哥德爾定理中的一致比我們說的一致要強(qiáng)一些，他要求的是ω-一致。你可以理解為ω-一致則一定一致，但一致不一定ω-一致。至于什么是ω-一致，這超出了科普限度（我坦白，我其實(shí)也理解的也不太清楚）。

因此我們證明的其實(shí)是，若公理系統(tǒng)ω-一致則p為真。另外我們知道若公理系統(tǒng)不一致則p為真，但是我們不知道如果公理系統(tǒng)一致但是不ω-一致時(shí)，p是什么情況（事實(shí)上定理說明，我們證明不了p是真是假），因此也就不知道在公理系統(tǒng)本身中p是真是假。

4. 不要過度夸大哥德爾定理的意義，過度上升到哲學(xué)層面。這部分內(nèi)容經(jīng)常容易引發(fā)很多民科的濫用和過度發(fā)散，我們要格外注意。其實(shí)它也只不過是一條數(shù)學(xué)定理，不意味著數(shù)學(xué)大廈的崩塌，也不意味著數(shù)學(xué)喪失意義。思考這方面問題的時(shí)候，一定要回歸數(shù)學(xué)的描述，不要口胡，口胡就容易陷入民科。

5. 哥德爾定理是不是表明數(shù)學(xué)“不完美”了？是也不是。初一看，不是所有命題都能被證明真假，甚至不能證明有沒有矛盾，這不是壞了事了么？其實(shí)，這反倒為數(shù)學(xué)打開了一扇新的大門。

類比隔壁物理學(xué)，漂浮在物理學(xué)大廈上的兩朵烏云給牛頓力學(xué)撕開了一道口，但我們來不及為牛頓力學(xué)惋惜，因?yàn)樗洪_的這道口的外面，是更精彩更廣闊的物理世界。

在哥德爾的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)其實(shí)是變得更靈活了，我們可以有很多“不同”的數(shù)學(xué)。這方面的內(nèi)容我不知道怎么擴(kuò)展，因?yàn)樘嗔恕?/p>

6. 我們不能證明公理系統(tǒng)自身的一致性，那涉及到一致性的問題我們是不是就徹底麻爪了？絕對不是，這方面的數(shù)學(xué)特別深邃也特別精彩。

比如說，ZF公理系統(tǒng)（現(xiàn)在大家都在用的集合論公理系統(tǒng)，可以規(guī)避羅素悖論、康托悖論等）我們不能證明它是否一致。它加一個(gè)選擇公理，叫ZFC公理系統(tǒng)（視頻里提到了），也不能證明是否一致。但是！我們能證明“如果ZF一致，則ZFC一致”。類似這種假設(shè)一個(gè)一致推出另一個(gè)一致的證明方法，有一種通用方法叫“力迫法”。發(fā)明力迫法的科恩獲得了數(shù)學(xué)界的最高獎項(xiàng)，菲爾茲獎。

關(guān)于選擇公理方面的內(nèi)容，也特別有意思，感興趣的觀眾可以搜塔斯基分球悖論。

7. 如果我們不能證明包含算術(shù)的公理系統(tǒng)沒有矛盾，憑什么我們相信現(xiàn)在的數(shù)學(xué)？

我對這個(gè)問題的想法是，即便目前的數(shù)學(xué)不一致，我們也能把它修補(bǔ)好。這是一個(gè)發(fā)展的過程。而且，大部分現(xiàn)在的數(shù)學(xué)都應(yīng)該能遷移到我們修補(bǔ)好的那套新的數(shù)學(xué)中。

關(guān)于這個(gè)問題的更深層次討論，可以去知乎搜索“為什么我們相信ZFC是一致的”。

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好啦，就寫這些吧。我中午起床速看了一下視頻，發(fā)了條評論，僥幸上了熱評。但那條評論的內(nèi)容并不充分，所以我覺得我得提供更多的內(nèi)容才行，雖然不知道這條筆記有沒有機(jī)會被看到。我本人其實(shí)不是數(shù)學(xué)專業(yè)的，而是計(jì)算機(jī)專業(yè)的。但是這方面內(nèi)容和理論計(jì)算機(jī)關(guān)系很深（其實(shí)理論計(jì)算機(jī)是數(shù)學(xué)的分支），所以有所了解。但畢竟非常業(yè)余，如有錯處，望不吝斧正。