前段時(shí)間有網(wǎng)友給老黃下“戰(zhàn)書”了。老黃其實(shí)是不想理睬他的。他不知道從哪找來(lái)的一道不定積分問(wèn)題，據(jù)資料介紹，是印度某數(shù)學(xué)系高材生設(shè)計(jì)的一道不定積分，要老黃解出來(lái)。揚(yáng)言解出來(lái)才服老黃，潛臺(tái)詞是解不出來(lái)就瞧不上老黃。其實(shí)他瞧不瞧得上老黃，老黃一點(diǎn)兒也不關(guān)心。關(guān)鍵是看到數(shù)學(xué)題，老黃就禁不住要去探究。

被積函數(shù)是e的反余弦arccost次冪，乘以一個(gè)根分式，分子是3t^2-1，分母是根號(hào)內(nèi)(t^3-t^5)，關(guān)于t的不定積分。

這一看就是要利用反余弦的導(dǎo)數(shù)-1/根號(hào)(1-t^2)進(jìn)行湊微分。但是湊完微分，分母中還有一個(gè)根號(hào)式，t的3/2次方。處理起來(lái)非常麻煩。

因此老黃嘗試換元，記arccost=x，則t=cosx.?換元之后，得到兩個(gè)不定積分的和，其中一個(gè)的被積函數(shù)是-3e^x*(cosx)^(1/2)，另一個(gè)是e^x*(cosx)^(-3/2).?這顯然是兩個(gè)關(guān)于e^x乘余弦的冪的不定積分。

為了解決這個(gè)問(wèn)題，老黃就開始探究e^x乘余弦的冪的不定積分公式。包括正弦相關(guān)，正割余割相關(guān)以及正切余切相關(guān)的許多公式。

但是很可惜，因?yàn)橹笖?shù)是分?jǐn)?shù)，這些公式都無(wú)法直接解決這個(gè)問(wèn)題。不過(guò)這些公式還是給了老黃一些啟發(fā)。觀察這些公式，可以發(fā)現(xiàn)其中包括有余弦升(降)二次冪的遞推公式。也就是說(shuō)，上面得到的兩個(gè)不定積分，只要它們的關(guān)系剛好符合公式的形式，就有可能得到原不定積分的答案。

為了表達(dá)的方便，記指數(shù)為二分之一的不定積分為J_1/2，指數(shù)為負(fù)二分之三的不定積分為J_-2/3.?只有推出它們的關(guān)系有J_1/2=f(x)+1/3 *J_-2/3的形式，才能解決原不定積分。

很可惜，實(shí)際推出來(lái)的關(guān)系是J_1/2=f(x)-1/5 *J_-2/3的形式，因此這個(gè)方法解決不了原不定積分。它只能解決下面這個(gè)同類型的不定積分。

即將原不定積分分子中的因式(3t^2-1)改成(5t^2+1)，就可以用這種方法來(lái)解決。

否則就只有直接得到J_1/2的結(jié)果，才能用這種方法解決這個(gè)問(wèn)題。寫到這里，不知道你的思維有沒(méi)有被老黃引入這道題中了呢？老黃受限于智商太低，人太笨，所以現(xiàn)在還解決不了。哪位高智商的大俠可以指點(diǎn)一二呢？

解決得了固然開心。其實(shí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，也在探究的過(guò)程中。老黃還會(huì)在閑暇時(shí)繼續(xù)探究這個(gè)不定積分。不過(guò)老黃懷疑這是一個(gè)超越不定積分，無(wú)法用一般的方法解決?；蛟S要等到老黃把超越不定積分研究透，才能真正解決這個(gè)問(wèn)題吧。不過(guò)老黃只是為探究而探究，既沒(méi)有任何目的，也不在乎網(wǎng)友對(duì)老黃的看法，探究數(shù)學(xué)就應(yīng)該有這樣的態(tài)度。