關(guān)于無(wú)窮小的理解，作者在數(shù)軸是一根連續(xù)的直線嗎一文中進(jìn)行了詳細(xì)解釋。圖中

從上述定義可以看出，無(wú)窮小是一個(gè)變化過(guò)程。

上圖表示，無(wú)窮小可以比較趨向0的速度，但不可以比較大小，因?yàn)闊o(wú)窮小只有一個(gè)。所謂同一過(guò)程，比如，在相同的x趨于0的過(guò)程中，lim(x^2/x)=0。就說(shuō)x^2是比x的高階無(wú)窮小，其實(shí)就是x^2趨于0的速度比x趨于0的速度更快。

等價(jià)無(wú)窮小其實(shí)就是趨向0的速度一致。

上圖表示，兩個(gè)無(wú)窮小如果等價(jià)，則只是相差一個(gè)高階無(wú)窮小。

等價(jià)無(wú)窮小可以用于近似計(jì)算。

上圖表示，無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小之和不一定還是無(wú)窮小。而是有可能變成一個(gè)數(shù)字。

上圖是關(guān)于積分分割的說(shuō)明。將x點(diǎn)的曲邊梯形移到下面：

假設(shè)點(diǎn)c是和點(diǎn)x任意相鄰的點(diǎn)，而Δx就是無(wú)窮小。關(guān)于無(wú)窮小的理解，作者在《數(shù)軸是一根連續(xù)的直線嗎》一文中進(jìn)行了詳細(xì)解釋。圖中與點(diǎn)c相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)d是與點(diǎn)f(x)任意相鄰的點(diǎn)。按照無(wú)窮小的定義，Δx是已經(jīng)小到了無(wú)法用任何數(shù)字表示的程度。為了表示Δx不是一個(gè)數(shù)字的想法，上圖中點(diǎn)c與位置x+Δx之間故意斷開，表示點(diǎn)c是點(diǎn)x最相鄰的那個(gè)數(shù)字，注意，點(diǎn)c可以任意。

同樣，與點(diǎn)c相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)d采取了同樣的方法，表示曲線上的點(diǎn)f(x)到f(x+Δx)之間的那段弧也不是一個(gè)數(shù)字。因?yàn)棣= f(x+Δx)- f(x)也是一個(gè)無(wú)窮小，所以曲邊梯形和矩形的面積之間就相差一個(gè)三角形的面積：1/2ΔxΔy，這個(gè)面積是一個(gè)高階無(wú)窮小。矩形面積f(x)Δx是一個(gè)無(wú)窮小。只要是無(wú)窮小或者是高階無(wú)窮小，就無(wú)法用數(shù)字表示出來(lái)。比如1+Δx只能等于1，因?yàn)棣不是數(shù)字，所以1+Δx=1不是近似，而是精確相等。

按照?qǐng)D1，無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小之和不一定還是無(wú)窮小，而是有可能變成一個(gè)數(shù)字。這一結(jié)果表明，無(wú)窮小與一個(gè)具體的數(shù)字之間存在一個(gè)鴻溝，需要無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小才能跨越。同樣，高階無(wú)窮小和無(wú)窮小之間也存在鴻溝，無(wú)窮多個(gè)高階無(wú)窮小不一定還是高階無(wú)窮小，但最多能變成無(wú)窮小，但無(wú)窮小卻還不是一個(gè)數(shù)字。

通過(guò)以上分析，圖2中的曲邊梯形面積和梯形面積之間略去的無(wú)窮多個(gè)三角形面積之和即高階無(wú)窮小，最多相當(dāng)于略去了一個(gè)無(wú)窮小，所以不會(huì)影響到積分的值是精確值這個(gè)結(jié)論。