畢達(dá)哥拉斯與調(diào)和

調(diào)和(harmonic)這個(gè)術(shù)語(yǔ)在數(shù)學(xué)中出現(xiàn)多次，很多人事實(shí)上不知道為何“調(diào)和”命名為“調(diào)和”。

如果懂得英語(yǔ)的朋友，看到harmonic(和聲)。應(yīng)該意識(shí)到調(diào)和(harmonic)與音樂(lè)有關(guān)。

這個(gè)術(shù)語(yǔ)的確是由于研究音樂(lè)而產(chǎn)生的。

而研究音樂(lè)與數(shù)學(xué)間的關(guān)系，并從中發(fā)現(xiàn)調(diào)和級(jí)數(shù)，這不能不提“畢達(dá)哥拉斯學(xué)派”。

畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)

畢達(dá)哥拉斯，是公元5世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家，出生與愛(ài)琴海的薩摩斯島的貴族家庭。

因向往東方的智慧，曾游歷了巴比倫，吸收了美索不達(dá)米亞文明文化。后來(lái)他到意大利南部傳授數(shù)學(xué)及宣傳他的哲學(xué)思想，并和他的信徒組成了“畢達(dá)哥拉斯學(xué)派”的政治和宗教團(tuán)體。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，認(rèn)為“萬(wàn)物皆數(shù)”，企圖用數(shù)來(lái)解釋一切。這里的“數(shù)”指的是整數(shù)和分?jǐn)?shù)，及有理數(shù)。

在這個(gè)“萬(wàn)物皆數(shù)”的信條下，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派還研究了音樂(lè)。

音樂(lè)與調(diào)和

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)如果將一根撥弦時(shí)發(fā)出中央C音的弦，它的長(zhǎng)度剪至原來(lái)的2/3，這根弦便能發(fā)出G音符。如果弦的長(zhǎng)度減半,它將發(fā)出高音C，即高出一個(gè)倍頻程。這些音符和它們對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)構(gòu)成了一個(gè)數(shù)列。

將這些數(shù)字取倒數(shù)，得到一個(gè)等差數(shù)列。

若數(shù)列中每個(gè)元素取倒數(shù)形成等差數(shù)列，則稱(chēng)該數(shù)列為調(diào)和數(shù)列。

調(diào)和點(diǎn)列

接下來(lái)，我們來(lái)看調(diào)和點(diǎn)列這個(gè)概念，若形成調(diào)和數(shù)列，則我們稱(chēng)為調(diào)和點(diǎn)列。即

注意這里AC,AB,AD都是有向線(xiàn)段，有正負(fù)。

因此我們可以有如下關(guān)系成立

將上面的等式帶入到調(diào)和點(diǎn)列的定義，得到如下等式成立。

這樣，容易得到如下等式成立。

即

這樣，我們就得到了如下等式成立

注意，這里我們?yōu)榱诵问缴系囊恢滦?，我們調(diào)整了線(xiàn)段CB,DB的方向使之為BC,BD。

寫(xiě)成交比的形式為

則也就是今天調(diào)和點(diǎn)列的定義。接下來(lái)還有一些附帶的術(shù)語(yǔ)，一并在這里說(shuō)明一下。

若交比,我們稱(chēng)為的第四調(diào)和點(diǎn)，稱(chēng)為調(diào)和點(diǎn)列，又稱(chēng)調(diào)和分割或和調(diào)和共軛。

對(duì)于熟悉數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)來(lái)說(shuō)，聽(tīng)到調(diào)和點(diǎn)列，應(yīng)該自然的想到完全四邊形，另外對(duì)于二次曲線(xiàn)來(lái)說(shuō)，極點(diǎn)(pole)和極線(xiàn)(polar)的概念和調(diào)和點(diǎn)列的概念也有很深的淵源。

事實(shí)上，完全四邊形和二次曲線(xiàn)也是有著很深的聯(lián)系。

這部分內(nèi)容就留到后面了。