神奇小豬 | 直線的傾斜角與斜率

1??傾斜角與斜率的定義

傾斜角：x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角，α∈【0，π）

斜率：k =tanα（a≠kπ+π/2）

直線的斜率：k =tanα =y?-y?/x?-x?

傾斜角和斜率不一定完全對應：kπ+π/2

• 每條直線都有傾斜角，但不是每條直線都有斜率

判斷

直線的傾斜角為α，則sinα > 0（x）

• α=0，sinα=0

斜率相等的兩直線的傾斜角一定相等（?）

若直線的傾斜角為α，則此直線的斜率必為tan α（x）

• kπ+π/2

若直線的斜率為tanα ，則直線的傾斜角必為α（x）

• 斜率有可能+2kπ

直線一般式：Ax+By+C = 0

傾斜角怎么坑你

他說有傾斜角，但是沒有說有斜率

分類討論：

一、存在k

把直線的一般式換成y=kx +b的形式

k= -1 /2(sin2α-1) =1 /2(1-sin2α) =1/2cos2α

同時k =tanα =sinα / cosα

sinα / cosα = 1/2cos2α

兩邊同時乘以cosα

sinα = 1 /2cosα

• 2sinαcosα =1
• 二倍角公式：sin2α =1
• 三角學過：sinπ/2 =1
• 那么2α =π/2
• 也就是說α =π/4

二、不存在k

當斜率k=tanα，α取π/2時，不存在斜率k

也就是x+2(sin2π/2-1)y +1 =0

• y前面的系數是0
• 也就是x+1 =0
• x= -1：他是一條直線

綜上，答案是π/4 或π/2

2??直線的平行與垂直

平行一定斜率相等，斜率相等不一定平行（還有可能重合）

兩條直線垂直，斜率相乘為-1

平行垂直怎么坑你

如果直線x+2αy -1=0與直線(3α-1)x-4αy-1=0平行，則α等于

A. 0

B. -1/3

C. 0或-1/3?

D. 0或1

核心方法：k?=k?

換成y=kx+b

一、α≠0

k? =-1 /2α k?=3α-1 /4α

• 讓他們相等
• a =-1/3

二、不存在k

也就是沒有y，在這題里也就是α=0

若直線ax +2y +6 =0和直線x +a(a+1)y +(a2-1) =0垂直，則a的值為

核心方法：k?·k? =-1

換成y=kx+b

一、α≠0

k? =-α/2 k? = -1 /α(α+1)

• 讓他們相乘=-1
• α =-3/2

二、不存在k

第一條直線：α=0，y= -3

第二條直線：x=1

綜上，α的值為-3/2或0

本題建議用畫圖法

直線l的傾斜角的取值范圍：

k? =y?-y?/x?-x? =-1，α=3π/4

k? =y?-y?/x?-x? =√3，α=π/3

α∈【π/3，3π/4】

直線l的斜率k的取值范圍：

首先k從（-∞，+∞）開始考慮

k∈（-∞，-1】∪【√3，+∞）

不能構成三角形：三點共線

任何兩點斜率相等，k? = k?

kAB = y?-y?/x?-x? = -3/2

kBC = y?-y?/x?-x? = -t+4/4 =-3/2

• 解得 t=-10

三條直線不能構成三角形：

一、其中兩條直線平行

k?=-1/2α

k?=-3

k?=2

A、k? = k?

α=6

B、k? = k?

α=-4

二、三條直線匯集在一點

聯立求解，x= -2/5，代入第二（三）條直線

y= 1/5

再將（-2/5,1/5）代入到第一條直線

α= -3/2