微積分的概念十分簡單，大概是由于初等數(shù)學(xué)的知識點(diǎn)實(shí)在太多，才不得不把這一高等數(shù)學(xué)概念推遲到大學(xué)學(xué)習(xí)。為了把事情講清楚，我們將去除所有復(fù)雜的細(xì)節(jié)，這樣一來，描述便可能不夠嚴(yán)謹(jǐn)，但卻容易理解。

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函數(shù)

如果存在這樣一個法則，使得某一數(shù)集中的每個x值，都有一個確定的y值相對應(yīng)，那么，y就是一個x的一個函數(shù)，記作y = f(x)。其中，x稱為自變量，y稱為因變量，而f就是這個法則。

舉個例子：y = x?-?1就是一個函數(shù)，y = 1?/ x也是一個函數(shù)。

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說明：

• 這里定義的函數(shù)是一元的，也就是說，只有一個自變量。同時，函數(shù)是單值的，也就是說，每個x值只有一個y值與之對應(yīng)。我們不討論更復(fù)雜的函數(shù)，一元單值函數(shù)已經(jīng)足夠用了。

• 符號x，y，f都是習(xí)慣用法，完全可以使用別的符號。比如，p = g(q)也可以表示一個函數(shù)。再比如，勻速直線運(yùn)動中s = vt，其中自變量t，因變量s，而v是一個常量。
  

函數(shù)可以在直角坐標(biāo)系中描繪成曲線，其中橫坐標(biāo)為x，縱坐標(biāo)為y。比如，圖中就是兩個函數(shù)的曲線。注意，函數(shù)的取值可能是無限的，我們只能畫出部分，但已經(jīng)可以說明問題。

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極限

有這樣一個函數(shù)f(x)，其中一點(diǎn)x0，取一個任意小的正數(shù)ε，若總能保證函數(shù)在x0周圍某一范圍內(nèi)所有的值都滿足|f(x) - a| < ε，那么a就是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的極限，記作：

說明:

• 正數(shù)ε是可以任意取的，也就是說，不管ε多小都行。

• a是一個常數(shù)，或者說是一個數(shù)值。如果找不到這樣一個數(shù)值，則該函數(shù)在x0點(diǎn)沒有極限。

• x0周圍某一范圍內(nèi)，不包括x0本身，函數(shù)在這一點(diǎn)可以沒有值。若函數(shù)在x0點(diǎn)連續(xù)，則f(x0)就是極限值。

• 符號lim是極限的意思，符號→是趨近的意思，這是固定的寫法。這個式子的含義是，當(dāng)x趨近于x0時，f(x)趨近于a，函數(shù)在x0點(diǎn)的極限值為a。

• 極限是一個趨近的過程，不能說成函數(shù)的極限，只能說函數(shù)在某一點(diǎn)的極限，更準(zhǔn)確地說，是函數(shù)趨于某一點(diǎn)時的極限。

特別地，當(dāng)一個函數(shù)在某點(diǎn)的極限為0時，稱這個函數(shù)在該點(diǎn)是無窮小量，記作x→x0時，f(x)→0。注意，無窮小量是一個無限接近于0的變量，不是一個數(shù)值，更不等于0，而無窮小量的極限為0。

微分

顧名思義，微分就是細(xì)微地切分。將函數(shù)y = f(x)切分為很小的一段段，每一段的增量記為?x和?y。將?y = f(x + ?x) - f(x)拆解，便可以得到一個關(guān)于?x的式子。比如：

接下來，我們將這個式子拆成兩部分?y = A?x + ο(?x)，其中A是一個與x有關(guān)的函數(shù)，而ο(?x)則是?x的高階無窮小。上例中：

注意，這個等式中的每一項(xiàng)都與?x有關(guān)，若無法拆解得到這樣的等式，則這個函數(shù)不可微，也就是無法進(jìn)行微分，那么，這樣的函數(shù)不在我們的討論范圍。

再來一個例子：

注意，ο(?x)中看上去并不像所謂?x的高階部分，但它的確是?x的高階無窮小，具體參看高階無窮小的概念。

?定義：

• 自變量x的微分為dx = ?x，其中?x→0。

• 因變量y的微分為dy = A?x，其中?x→0。

• f(x)的導(dǎo)數(shù)記作f?(x)，?定義為：

?說明：

• 以上是微分和導(dǎo)數(shù)的定義，至于這樣定義的意義，稍后會討論。

• dx和dy都是無窮小量，當(dāng)并不是0。

• 當(dāng)?x→0時，dx與?x相等，但dy不等于?y，而是其主要部分。后面的ο(?x)是?x的高階無窮小，在下面的推導(dǎo)中可以發(fā)現(xiàn)，這部分并沒有作用，所以可以忽略。

• 當(dāng)我們用前面提到的這些定義進(jìn)行推導(dǎo)，可以得到：

• 導(dǎo)數(shù)是兩個微分之商，所以又稱為微商。導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是極限，仍是一個關(guān)于x的函數(shù)，若是沒有這樣的函數(shù)存在，則原函數(shù)不可導(dǎo)。

• 嚴(yán)格地說，我們之前講的導(dǎo)數(shù)應(yīng)該稱為導(dǎo)函數(shù)，而狹義的導(dǎo)數(shù)是指某一點(diǎn)的極限。為了方便起見，我們并沒有將二者做嚴(yán)格的區(qū)分。

導(dǎo)數(shù)的定義并不是隨意的，而具有數(shù)學(xué)意義。在函數(shù)曲線上，某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是該曲線在這一點(diǎn)切線的斜率。導(dǎo)數(shù)反應(yīng)了函數(shù)的增減，導(dǎo)數(shù)為正則函數(shù)上升，反之則下降。但某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為0時，函數(shù)的升降發(fā)生變化，該點(diǎn)正是函數(shù)的極大或極小點(diǎn)。

導(dǎo)數(shù)還可以有導(dǎo)數(shù)，稱為二階導(dǎo)數(shù)，記作f?(x)。二階導(dǎo)數(shù)可以反應(yīng)原函數(shù)的凹凸，二階導(dǎo)數(shù)為正，則一階導(dǎo)數(shù)上升，切線傾斜角增大，曲線下凸。反之，二階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，曲線上凸。當(dāng)某點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)為0時，函數(shù)的凹凸在該點(diǎn)發(fā)生變化，該點(diǎn)則是拐點(diǎn)。

拉格朗日中值定理

導(dǎo)數(shù)f?(x) = dy / dx中的dy和dx是微分，也就是極小的變化。而當(dāng)這種變化很大時，則寫成?y / ?x。設(shè)函數(shù)上有兩個點(diǎn)a和b，它們可能離得并不近。于是，?y?/??x?= (f(b) - f(a)) / (b - a)。有趣的是，在a和b之間，至少有一點(diǎn)ξ，使得該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)f?(ξ) = ?y?/??x，這便是拉格朗日中值定理。

這里并不嚴(yán)格證明，只是用幾何方法描述一下。將點(diǎn)a和b用直線連接，那么(f(b) - f(a)) / (b - a)就是這條直線的斜率。將這條直線上下推移，必然會在某一點(diǎn)（或幾點(diǎn)）與函數(shù)曲線相切，那么這一點(diǎn)就是ξ。

拉格朗日中值定理的應(yīng)用很多，比如物理的曲線運(yùn)動中，任何一個過程中必然有一點(diǎn)，這一點(diǎn)的瞬間速率等于這個過程的平均速率。

積分

假定a和b是函數(shù)f(x)上的兩個點(diǎn)，我們想要計算a和b間這段函數(shù)曲線與X軸間區(qū)域的面積。方法是，將這個區(qū)域切割成一個個很小的矩形，計算每個矩形的面積，并相加起來。也就是說，將a和b間的函數(shù)任意切割成n段，在每段中任取一點(diǎn)ξi。接下來，將每段的?xi和f(ξi)相乘，再統(tǒng)統(tǒng)加起來。由于每段的?xi并不相等，可取其最大值max(?xi)。當(dāng)這個最大值趨于0時，也就是切割足夠細(xì)的時候，便有下列求面積S的公式：

將這個復(fù)雜的式子記為：

這就是f(x)在a和b這段區(qū)間的定積分，可見，定積分的本質(zhì)是一個數(shù)值，這個數(shù)值與n的大小、具體分割的方法、以及ξ的選取都無關(guān)。公式中的dx和微分中的dx相同，都表示極小的?x，不過這只是一種寫法，并不能參加計算。

想要計算定積分的值，先要引入原函數(shù)的概念。假定F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，即F?(x) = f(x)。注意，這樣的原函數(shù)不止一個，但無關(guān)緊要。于是，便有了定積分的計算公式：

下面不嚴(yán)格地證明一下，由于定積分是一個總和，每一小段都是f(ξi) ?xi，而根據(jù)拉格朗日中值定理，這個值便等于?F(xi)，再將其相加，最終便得到F(b) - F(a)。這里面唯一的問題是，積分中的ξ是任取的，而拉格朗日中值定理中的ξ是指定的。好在max(?xi)趨于0，所以兩個ξ趨于一致。

從定積分推廣開去，就有了不定積分，定義非常簡單，f(x)的任意原函數(shù)就是其不定積分，記作∫f(x)dx。這樣的原函數(shù)有無數(shù)個，它們的區(qū)別僅為常量。于是，∫f(x)dx = F(x) + C，其中C為任意常數(shù)。

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微積分運(yùn)算

導(dǎo)數(shù)的求法可以根據(jù)其定義，也可以查找基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表，然后求得結(jié)果。積分的求法也可通過導(dǎo)數(shù)表，先求出原函數(shù)，然后再進(jìn)行計算。不過，這些具體計算都與微積分概念無關(guān)，不再詳細(xì)介紹。

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總結(jié)

從數(shù)學(xué)角度來看，微分的意義是求切線，而積分的意思是求面積，兩者互逆。而微積分被應(yīng)用于物理學(xué)，便有了更廣泛的意思。當(dāng)然，現(xiàn)實(shí)中的函數(shù)可能更為復(fù)雜，如多元函數(shù)，于是便有了偏導(dǎo)數(shù)、重積分等復(fù)雜概念。對于只想對微積分有所了解的我們，這些并不重要。