本文譯自A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky, trans. Alex Martsinkovsky, Geometry of Conics, American Mathematical Society, 2007.
翻譯：野呂侯奈因
僅供學習交流使用
譯者按：
?????? 本書在幾何愛好者之間小有人氣，但目前網(wǎng)上只能找到一些零散的翻譯．鑒于目前通行的數(shù)學教學中對于二次曲線問題的處理方式過于單一，希望能借翻譯本書的機會來推廣一下二次曲線的射影幾何視角．

?????? 現(xiàn)在我們來介紹可以說是二次曲線最重要的性質之一的光學性質（optical property）．

定理1.1（橢圓的光學性質）.?若有一直線切橢圓于點，則為的外角角分線，其中和為橢圓兩焦點（圖1.10）．

證明.?設為上異于的任意一點．由于在橢圓外部，于是就有，也就是說為上到和的距離之和最小的點．那么自然有與夾所形成的兩角相等．

練習2.?請敘述并證明拋物線及雙曲線的光學性質．

解答. 拋物線的光學性質敘述如下：若有一直線切拋物線于點，作出在準線上的投影，則為的角平分線，其中為拋物線的焦點（圖1.11）．

???????假設存在一條的角平分線（設其為）交拋物線于另一點，作出在準線上的投影．由拋物線的定義，有．另外，由于為等腰三角形，有的角分線同時也是的中垂線．因此對于該角分線上的任意一點，都有．而準線上只唯一存在一點使得到其距離最小，故矛盾．

???????接下來是雙曲線的光學性質．

????? ?若有一直線切雙曲線于點，則為的角分線，其中為橢圓兩焦點（圖1.12）．

???????假設存在一條的角平分線（設其為）交雙曲線的同一支于另一點．為方便敘述，不妨假定落在靠近的一支上．作出關于的對稱點，有，且和三點共線．因此有，故有．而由三角不等式，有，故矛盾．

?????? 以上結論也可以用與橢圓的光學性質類似的方式證明，可以試著使用練習1的結論．

（譯者注：對于拋物線，這里分享兩種思路：第一種是推廣定理1.1的結論：將其中一個焦點移至無窮遠處，這時其與橢圓上一點所連直線也就平行于原長軸；另外，原橢圓也變?yōu)榱藪佄锞€．那么由橢圓的光學性質，拋物線的光學性質顯然成立．第二種是使用練習1.b)的結論：作出焦點關于拋物線的切線的對稱點并假設其不在準線上．且對于上異于切點的任意點及其在準線上的投影都有，而由可知，在過的準線的垂線上，又由對稱性知，重合，故矛盾．而為準線上唯一的到距離等于的點，故原命題得證．（圖a）

?????? 對于雙曲線，設切雙曲線于點，則對于上異于切點的任意點都有，于是為上到與的距離之差的絕對值最大的點，故原命題顯然成立．（圖b）

? ? ? ?另外，我們也可以發(fā)出一種相反的疑問：是否可以用練習2的思路來證明定理1.1？譯者在此給出一種方法：假設的外角角分線交橢圓于另一點，其中為橢圓的兩焦點．作出關于的對稱點，有三點共線．而由對稱性，有，由三角不等式，這顯然矛盾，故原命題得證．（圖c）)

?????? 早在古希臘，人們就發(fā)現(xiàn)了拋物線的光學性質．阿基米德甚至曾通過將銅鏡排列為拋物面來嘗試點燃圍攻敘拉古城的羅馬船只．

（譯者注：阿基米德像是預知了他本人將死在這場戰(zhàn)役中一樣爆發(fā)出了驚人地豐富的奇思妙想，這份才思泉涌也為他的死亡平添了些食其食者死其事的壯烈．）