條件概率說的是多個(gè)事件有先后順序的發(fā)生，前一個(gè)事件的已知發(fā)生會(huì)影響到后面事件發(fā)生的概率。并且如果已知的事件在是中間的事件，那么中間的事件不僅會(huì)影響前面事件發(fā)生的概率，也會(huì)影響后續(xù)事件發(fā)生的概率。

事件A在另外一個(gè)事件B已經(jīng)發(fā)生條件下的發(fā)生概率。條件概率表示為：P ( A ∣ B ) P(A\mid B )P(A∣B)，讀作“在B的條件下A發(fā)生的概率”

條件概率公式為:

P ( A ∣ B ) = P ( A B ) P ( B ) P(A\mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)}

P(A∣B)=?

P(B)

P(AB)

?

同理可得出在A條件下B發(fā)生的概率為

P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) P(B\mid A) = \frac{P(AB)}{P(A)}

P(B∣A)=?

P(A)

P(AB)

P(A|B)=P(AB)/P(B)為事件A在B發(fā)生的條件下的條件概率。

積概率說的是多個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率。

對(duì)應(yīng)套用我們的乘法公式

由條件概率公式可知：P(AB)=P(A|B)P(B),這就是乘法定理，通俗講就是AB同時(shí)發(fā)生的概率就是B發(fā)生了的概率乘以B發(fā)生的情況下A發(fā)生的概率。

P(AB)=P(A∣B)?P(B)=P(B∣A)?P(A)

舉個(gè)例子。

? ? ? ? 三個(gè)小偷去偷村莊，此時(shí)三個(gè)小偷都站在村口，那么他們?nèi)ネ荡迩f的概率是一樣的，都是1/3。如果某天已知了村莊被偷了（小偷得手了），那么在已知被偷情況下，求三個(gè)小偷分別偷盜的概率，必然是能力強(qiáng)（小偷得手概率）的小偷概率最大，警察也會(huì)優(yōu)先懷疑這個(gè)人。就好像，如果一開始村莊沒有被盜的時(shí)候，警察指的刑滿釋放的江洋大盜（小偷得手概率大）說別去那個(gè)村莊，你偷盜的可能性最大，這其實(shí)是不太科學(xué)的，因?yàn)榫退闶瞧胀ㄈ艘灿腥ネ档每赡苄裕總€(gè)人偷得可能性一樣大。

? ? ? ? 此例子中事件的步驟：選小偷去偷村莊——小偷得手的概率（能力問題）

? ? ? ??

? ? ? ? 要點(diǎn)：如果出現(xiàn)了三件以上的事兒：H——A1——A2 如果A2已知，這個(gè)時(shí)候，已知的A2會(huì)影響H和A1兩個(gè)發(fā)生的概率。而且因?yàn)橹皇且阎狝2發(fā)生，不知道A1是發(fā)生了，還是A1反面發(fā)生了，即此時(shí)A2的概率不受A1影響，所以求P(A2)直接等于P(A2) = P(H)P(A2/H)即可。

? ? ? ? 比如：Hi 選地區(qū)——A1第一個(gè)抽到男生——A2 第二個(gè)抽到男生

? ? ? ? ? ? ? ? 如果只有A2已知，Hi,A1未知，求P(A2) = P(H1)P(A2/H)，那么因?yàn)锳1未知，第二次抽到男生A2就變成了抓鬮模型，比如十個(gè)人，五個(gè)男生，此時(shí)P(A2/H) = 1/2，乘以H1 = 1/3，就可以算出選擇第一個(gè)區(qū)域而第二次抽到男生（在第一個(gè)未知）的情況下的概率了。

其余未知情況，序列中隨便一個(gè)發(fā)生的可能（本質(zhì)還是同時(shí)發(fā)生，用積事件然后正反相加可證）——抓鬮模型

已知情況但未發(fā)生的可能（同時(shí)發(fā)生的可能）——積事件

已知情況且已經(jīng)發(fā)生的可能——條件概率（這個(gè)就是題目中出現(xiàn)的“已知”）

完備事件組：把樣本空間分成幾個(gè)事件，每個(gè)事件互不相交，全加起來就是樣本空間，這就叫完備事件組。或者叫樣本空間的劃分。

如果事件組B1，B2，… 滿足

B1，B2…兩兩互斥，即 Bi ∩ Bj = ? ，i≠j ， i,j=1，2，…，且P(Bi)>0,i=1,2,…;

B1∪B2∪…=Ω ，則稱事件組 B1,B2,…是樣本空間Ω的一個(gè)劃分,也稱B為完備事件組

設(shè) B1,B2,…是樣本空間Ω的一個(gè)劃分，A為任一事件，則：

P ( A ) = ∑ i = 1 ∞ P ( B i ) P ( A ∣ B i ) P(A)= \sum\limits_{i=1}^\infty {P(B_i)}{P(A\mid B _i)}

P(A)=?

i=1

∑

∞

?P(B?

i

?)P(A∣B?

i

?)

因?yàn)镻 ( A ) = P ( A Ω ) = P ( A ( B 1 + B 2 + B 3 + . . . ) ) P(A) = P(A\Omega)=P(A(B_1+B_2+B_3+...))P(A)=P(AΩ)=P(A(B?

1

?+B?

2

?+B?

3

?+...))

又因?yàn)锽 i B_iB?

i

?之間互斥,所以P ( A ) = P ( A B 1 ) + P ( A B 2 ) + P ( A B 3 ) + . . . P(A)=P(AB_1)+P(AB_2)+P(AB_3)+...P(A)=P(AB?

1

?)+P(AB?

2

?)+P(AB?

3

?)+...

根據(jù)上面的乘法公式我們可以得到:

P ( A B 1 ) = P ( B 1 ) ? P ( A ∣ B 1 ) P(AB_1)=P(B_1)*P(A\mid B_1)P(AB?

1

?)=P(B?

1

?)?P(A∣B?

1

?)

P ( A B 2 ) = P ( B 2 ) ? P ( A ∣ B 2 ) P(AB_2)=P(B_2)*P(A\mid B_2)P(AB?

2

?)=P(B?

2

?)?P(A∣B?

2

?)

P ( A B 3 ) = P ( B 3 ) ? P ( A ∣ B 3 ) P(AB_3)=P(B_3)*P(A\mid B_3)P(AB?

3

?)=P(B?

3

?)?P(A∣B?

3

?)

由此可得= P ( A Ω ) = P ( A ) = ∑ i = 1 ∞ P ( B i ) P ( A ∣ B i ) = P(A \Omega)=P(A)= \sum\limits_{i=1}^\infty {P(B_i)}{P(A\mid B _i)}=P(AΩ)=P(A)=?

i=1

∑

∞

?P(B?

i

?)P(A∣B?

i

?)

利用條件概率公式得到

P ( B i ∣ A ) = P ( A B i ) P ( A ) P(B_i\mid A)=\frac{P(AB_i)}{P(A)}

P(B?

i

?∣A)=?

P(A)

P(AB?

i

?)

?

利用乘法公式得到變形 P ( A B i ) = P ( A ∣ B i ) ? P ( B i ) P(AB_i) = P(A \mid B_i) * P(B_i)P(AB?

i

?)=P(A∣B?

i

?)?P(B?

i

?)

即:

P ( B i ∣ A ) = P ( A ∣ B i ) ? P ( B i ) P ( A ) P(B_i\mid A)=\frac{P(A\mid B_i)*P(B_i)}{P(A)}

P(B?

i

?∣A)=?

P(A)

P(A∣B?

i

?)?P(B?

i

?)

?

再利用全概率公式 P ( A Ω ) = P ( A ) = ∑ j = 1 ∞ P ( B j ) P ( A ∣ B j ) P(A\Omega)=P(A)= \sum\limits_{j=1}^\infty {P(B_j)}{P(A\mid B _j)}P(AΩ)=P(A)=?

j=1

∑

∞

?P(B?

j

?)P(A∣B?

j

?)

即

貝葉斯公式

:

P ( B i ∣ A ) = P ( A ∣ B i ) ? P ( B i ) ∑ j = 1 ∞ P ( B j ) P ( A ∣ B j ) P(B_i\mid A)= \frac{P(A\mid B_i) * P(B_i)}{\sum\limits_{j=1}^\infty{P(B_j)}{P(A\mid B_j)}}

P(B?

i

?∣A)=?

j=1

∑

∞

?P(B?

j

?)P(A∣B?

j

?)

P(A∣B?

i

?)?P(B?

i

?)