雖然老碧知道收藏多于點贊這回事吧，但是上一篇只有收藏沒有點贊是什么鬼情況？好吧，好吧，冷靜，看你們這么可愛，老碧真的是一點都不抓狂呢——陰謀已然開始悄悄醞釀……

上次我們驗證了在實數(shù)范圍內(nèi)，有理數(shù)具有的性質(zhì)都仍然成立，自此，實數(shù)獲得嚴謹定義。

最近幾期給實數(shù)論收個尾，我們就要進入到大學《數(shù)學分析》的第一個主體內(nèi)容了——“極限論”，而在此之前，我們絕對要掌握一個最基本的技術(shù)，也是《數(shù)學分析》“極限論”中所有的題目技術(shù)要點難點所在，即——花式解不等式！

偷偷告訴你們一個秘密——一般大學《數(shù)學分析》課本，實數(shù)論一般一兩頁就帶過了，如果不是重度強迫癥晚期患者，確實沒必要花這么久跟著老碧一起梳理這一堆雖然有趣但是沒什么大用的東西！

曾幾何時，在知乎上有一個剛剛上大一的數(shù)學系寶寶問過這么一個問題——總是覺得數(shù)學分析就是花式求不等式？下面一大堆數(shù)學系大神，花式表贊同。

為什么解不等式的技術(shù)在《數(shù)學分析》乃至整個分析學中，都有著舉足輕重的作用呢？

我們之后再說，今天我們就先來介紹前幾個最常用的不等式來作為《數(shù)學分析》的通行證之一吧！

《數(shù)學分析》課程的前至少三分之一的部分，四個不等式可以解決九成的問題，第一個就是書上介紹的絕對值不等式——

17絕對值

包含了——

1. |a|<b等價于-b<a<b

   必要性——

   如果a>=0，則|a|=a，由|a|<b，得到-b<0<=a<b，得證；如果a<0，則|a|=-a，由|a|<b，得到-b<0<-a<b，在不等式每一項都加上a，即得到，a+（-b）<0與0<a+b=a-（-b），即-b<a<b，得證。

   充分性——

   如果-b<a<b，在不等式兩邊同時加-a，（-a）+（-b）<0，得到，-a<b，且已知a<b，我們知道|a|要么是a，要么是-a，它們都比b小，所以|a|<b，得證。

2. |a+b|<=|a|+|b|

   我們已知，a<=|a|，-a<=|a|，b<=|b|，-b<=|b|

   顯然a+b<=|a|+|b|，（-a）+（-b）=-（a+b）<=|a|+|b|，

   |a+b|要么是a+b，要么是-（a+b），它們都小于等于|a|+|b|，得證。

3. -（|a|+|b|）<=a+b<=|a|+|b|

   我們已知，-|a|<=a<=|a|，-|b|<=b<=|b|，

   各項相加得（-|a|）+（-|b|）<=a+b<=|a|+|b|，即-（|a|+|b|）<=a+b<=|a|+|b|，得證。

   可以直接推廣到任意項相加的情況，用歸納法，把前面n-1項當作一個整體即可。

4. |a-b|>=||a|-|b||，謝惠民《數(shù)學分析習題課講義》第一節(jié)的習題

   第一步：|a-b|=|a-b|+[|b|+（-|b|）]=（|a-b|+|b|）-|b|>=|a-b+b|-|b|=|a|-|b|

   第二步：|a-b|=|b-a|>=|b|-|a|，結(jié)合上下得——|a-b|>=||a|-|b||

第二個則是，函數(shù)不等式，也是我們之前聊過放縮法的理論依據(jù)之一，就是在許多證明過程中，我們?nèi)绻⒁獾?，要證明的不等關(guān)系中的一邊可以看作一個單調(diào)函數(shù)或者有界函數(shù)，那么證明就會簡單許多，特別是很多時候，僅僅用單純的不等式搞不定的情況，不妨向函數(shù)的方向思考一下。

比如北京大學2017年數(shù)學分析的第五題——

看起來是一個簡單的迭代數(shù)列，如果按照常規(guī)的歸納法是很麻煩的，但是如果用函數(shù)的思想又會很簡單！

還有的題目，結(jié)合了絕對值不等式和函數(shù)兩種思想在一起，解起來就很輕松，比如謝惠民《數(shù)學分析習題課講義》第一節(jié)的習題——

求證：|a+b|/（1+|a+b|）<=|a|/（1+|a|）+|b|/（1+|b|）

提示：利用函數(shù)單調(diào)性分類討論即可。

學過極限的寶寶，可以試試看這兩題，沒學過極限的寶寶，試試看第二題，很有趣的！

第三個是伯努利不等式，之后兩篇就會講到。

最后一個則是均值不等式，尤其是任意項的均值不等式應(yīng)用廣泛，完整的均值不等式涉及到四個均值——

我們一般前三個就夠用了，證明可以用歸納法，感興趣的小朋友們可以證明試試看哦！

今天聊到這里，明后兩天給“實數(shù)論”收個尾，我們就可以到“極限論”里浪起來啦！是不是想想就很激動！我們明天不見不散哦！